2.1.4 平面与平面之间的位置关系第二课时 公开课

2．1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

2．1.4

平面与平面之间的位置关系

明目标、知重点

1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系；2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系；3.掌握空间中平面与平面的位置关系．

1．直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

2.平面与平面的位置关系

位置关系

两平面平行

斜交

两平面相交

垂直

α⊥β

α∩β＝a

α∩β＝a 有一条公共直线

有一条公共直线

图示

表示法

α∥β

公共点个数

无

定义

有无数个公共点

有且只有一个公共点

没有公共点

a∥α

图形语言

符号语言

a⊂α

a∩α＝A

[情境导学]

一支笔所在的直线和一个作业本所在的平面有几种位置关系？即一条直线与一个平面有几种位置关系？今天我们就来研究这个问题．

探究点一

空间中直线与平面之间的位置关系

思考1

如下图，线段A′B所在直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？

答

线段A′B在平面A′ABB′内，与平面D′DCC′平行，与其余四个面相交．

小结

直线与平面的位置关系有且只有三种：

直线在平面内，直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交，直线与平面有且只有一个公共点；直线与平面平行，直线与平面没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作a⊄α. 思考2

如何用图形表示直线与平面的位置关系？这种位置关系如何用符号语言表示？

答

图形表示如下图所示：

符号语言为：a⊂α；a∩α＝A；a∥α. 例1

下列命题中正确的个数是(

) ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．

A．0

B．1

C．2

D．3 答案

B 解析

如右图借助长方体模型来看命题是否正确．命题①不正确，相交时也符合；命题②不正确，如右图中，A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；命题③不正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；命题④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点．

反思与感悟

空间中直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内(有无数个公共点)、直线与平面相交(有唯一公共点)、直线与平面平行(无公共点)．其中直线与平面相交或直线与平面平行统称为“直线在平面外”．

跟踪训练1

已知直线a在平面α外，则(

) A．a∥α

B．直线a与平面α至少有一个公共点

C．a∩α＝A

D．直线a与平面α至多有一个公共点

答案

D 解析

因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D. 探究点二

平面与平面之间的位置关系

思考1

拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

答

从实验中可以看出，两个平面之间的位置关系只有平行和相交．

思考2

如图所示，围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

答

这六个面中相对的任意两个面平行，相邻的任意两个面相交．因此六个面只有两种位置关系，即平行和相交．

小结

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

(1)两个平面平行——没有公共点；

(2)两个平面相交——有一条公共直线．

思考3

平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达？

答

平面与平面平行的符号语言是α∥β；

图形语言是：

例2

α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是(

) A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β

B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β

C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β

D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β

答案

D 解析

A、B都不能保证α、β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α、β一定无公共点．

反思与感悟

判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的

意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．

跟踪训练2

两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．

其中正确命题的个数有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案

B 解析

①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．

例3

下列说法中正确的个数是(

) (1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线．

(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面．

(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．

(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β. A．0个

C．2个

答案

A 解析

(1)错误．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有一条交线．

(2)错误．如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内．

(3)错误．直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行．

(4)错误．如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β. 反思与感悟

(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．

(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

跟踪训练3

过平面外两点作该平面的平行平面，可以作(

) A．0个

C．0个或1个

答案

C 解析

平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：

①直线与平面相交．此时过平面外两点，不能作与该平面的平行平面．

②直线与平面平行．过平面外两点，能作惟一的一个平面与已知平面平行．

B．1个

D．1个或2个

B．1个

D．3个

1．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(

) A．平行

C．异面

答案

B 解析

∵M∈平面α，M∈平面β，

∴α与β相交于过点M的一条直线．

2．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是(

) A．l与β相交

C．l在β内

答案

B 解析

∵α∥β，∴α与β无公共点．

∵l⊂α，∴l与β无公共点，∴l∥β. 3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线(

) A．平行

C．相交

答案

D 解析

两个平面平行时，这两个平面没有公共点，分别在

这两个平面内的直线也没有公共点，因此它们不是平行就是异面．

4．下列说法中正确的序号为________．

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若α∥β，a⊂α，则a∥β；

④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

答案

③

解析

①不符合直线与平面平行的定义；

②中直线a与b没有交点，也有可能平行；

③中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β；

④中直线a与平面β有可能平行．

[呈重点、现规律]

1．解决本节问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．

2．正方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．

B．异面

D．平行或异面

B．l与β平行

D．无法判定

B．相交

D．不确定

一、基础过关

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

) A．一条直线不相交

C．无数条直线不相交

答案

D 解析

由直线与平面平行的意义，易知直线a与平面α内任意一条直线都无公共点，故选D. 2．直线l与平面α不平行，则(

) A．l与α相交

C．l与α相交或l⊂α

答案

C 解析

直线与平面的位置关系有：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交，由于直线l与平面α不平行，所以直线l与α相交或l⊂α. 3.已知平面α，直线a，b，则下列说法中正确的个数是(

) ①若a⊄α，则a∥α；

②若a∥b，b⊂α，则a∥α；

③若a∥α，b∥α，则a∥b；

④若a与α内的任何一条直线都不相交，则a∥α. A．0个

C．2个

答案

B 解析

①错误．因为直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a不一定平行于α. ②错误．因为a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α. ③错误．如图所示，直线a∥α，直线b∥α，但a与b相交．

④正确．若a与α内的任何一条直线都不相交，则a与α无公共点，所以a∥α.综上可知，正确的说法只有1个．

4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是(

) A．平行

C．平行或相交

B．相交

D．AB⊂α

B．1个

D．3个

B．l⊂α

D．以上结论都不对

B．两条相交直线不相交

D．任意一条直线都不相交

答案

C 解析

结合图形可知选项C正确．

5．直线a⊂平面α，直线b⊄

平面α，则a，b的位置关系是________________．

答案

平行、相交或异面

6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．

答案

b⊂α，b∥α或b与α相交

解析

正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1A为a，BC为b，若平面BCC1B1为α，则b⊂α；若平面CDD1C1为α，则b与α相交；若过AB、CD、C1D1、A1B1中点的截面为α，则b∥α. 7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．

解

不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l. 二、能力提升

8．下列命题正确的是(

) A．若直线a在平面α外，则直线a∥α

B．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交

C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β

D．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β

答案

D 解析

直线a在平面α外，则直线a∥α或a与α相交，故A错；直线a与平面α有公共点，则a与α相交或a⊂α，故B错；C中α与β可能平行，可能相交．

9．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线(

) A．异面

B．相交

C．平行

D．垂直

答案

D 解析

若尺子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则B不正确；若尺子放在地面上，则A不正确．所以选D. 10.一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形．其中正确的结论是________(把你认为正确的序号都填上)

答案

(2)(3)(4) 解析

因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．

于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，如图①；

过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，如图②；

正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，如图③. 1若出现三角形，体积不可能为正方体的. 2

11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．

解

由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，

由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，

∵α∥β，a⊂α，b⊂β，

∴a、b无公共点．

又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b. ∵α∥β，∴α与β无公共点，

又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β. 12.求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交．

证明

如图所示，

∵a∥b，

∴a与b确定一个平面，设为β. ∵a∩α＝P. ∴平面α和平面β相交于过点P的一条直线l. ∵在平面β内l与两条平行线a，b中一条直线a相交．

∴l必与b相交于Q，即b∩l＝Q，

又∵b⊄α，l⊂α，∴Q∈α，

∴b与平面α相交．

三、探究与拓展

13.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，在图①中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．

解

如图①所示，过点E作EN平行于BB1交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则直线AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．

如图②所示，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则直线BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．

证明

在图①中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，因此EF与NB相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面ABCD与平面AEF的公共点，故直线AM为两平面的交线．

在图②中，C1M在平面CDD1C1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B也是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．