复习参考题教学设计(第二课时)

《小题不小——

一道习题的拓展探究》片段教学设计

（高中数学人教A版《必修2》第二章）

佛山市高明区第一中学

匡娇艳

一、教学内容分析

本节内容选自高中数学人教A版必修②第二章，本节课的内容是在学完第二章后进行的习题拓展探究，通过研究三棱锥中蕴含的丰富的点、线、面之间的位置关系和数量关系，来学会从不同的角度看问题，从而加深对三棱锥的理解以及利用函数与不等式解决最值问题。

本片段的教学核心，是求四面体中一个截面四边形面积的最大值.本题以三棱锥为载体，涉及立体几何、函数与不等式等知识，既考查了学生对直线和平面位置关系的判断及空间角的计算，也考查了学生数学运算和逻辑推理能力.对比三种方法（几何直观法、函数法、不等式法）求最大值，再进行拓展(从特殊到一般），最后小结:“问题是数学的心脏”，好的问题是会下金蛋的鸡。在平时的教学实践中，教师要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，从不同的视角对问题进行全方位的剖析，探究规律，让学生亲身经历数学问题的探究历程，对数学学习产生源于内心的兴趣，从而加深对题意的理解。

二、学生学习情况分析

任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立体几何所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。

三、设计思想

本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示问题本质，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标

通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的性质定理，掌握直线与平面所成的角，掌握求最值得两种常用方法。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

核心片段比赛教案

第

1 页

共

5 页

五、教学重点与难点

重点：判断四边形形状并求四边形面积最大值的方法。

难点：利用函数和不等式求四边形面积最大值。

六、教学过程设计

教学步骤

1 预计

教学内容

时间

1 引言导入

教师活动

学生活动

在立体几何的图形中,三棱锥具有典型性,

三棱锥中蕴含着丰富的点、线、面之间的位置关系和数量关系，是立体几何中最基本的图形之一. 利用它的特点能解决很多问题,并有一定的推广价值,我们一定要加以重视。

2

3

例：如图，在四面体ABCD中，ABCD2，ADBD3, ACBC4,点E、F、G、

H分别在棱AD,BD,BC,AC上，若直线AB,CD都平行于

（1）师生共同进行题意解读：

1.条件解读：

显性条件：以同学们熟悉的四面体来命题，四面体的各条棱长，AB,CD与四边形EFGH的位置关系. 隐性条件：三棱锥中各棱、面之间的数量关系，四边形EFGH 的形状，E、F、G、H 变化时的依赖关系. 2.目标解读：

本题的目标是求四边形面积的最大值，以动态问题、最值问题综合考查学生的空间想象能力. 3.方案拟定：

欲求四边形面积，需探究其形状；

欲求最值，一般考虑几何和代数两大类解法. （2）引导学生回顾：直线与平面平行的性质定理和异面直线所成的角.

EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是（

）

12A.

B.

C.1

D.2

22教师用幻灯片同步展示过程

核心片段比赛教案

第

2 页

共

5 页

3

4

3

2

教师用幻灯片同步展示过程

解法剖析：

QABP平面EFGH,

且平面ABCI平面EFGH=GH



GHPAB

同理：EFPAB,

PCD,EHPCDFG

EFPGH，FGPEH



四边形EFGH为平行四边形.取

AB的中点M，连接MD，MC由

ADBD，ACBC

ABCM,ABDM得ABCD

学生通过教师的引导，进行思考，并回答问题.

（1）判断四边形EFGH的形状；

AB平面DCM（2）求出其面积.

FGGH,四边形EFGH为矩形SFGgGH

教师用幻灯片同步展示过程

解法1：几何直观

用几何画板演示运动过程.

当G由B点运动到C点的过程中，

平行四边形的面积先变大后变

小，因此存在一个特殊位置，使

得四边形的面积最大.根据变化的学生通过对称性，不难发现当G在BC中点图形直观时，四边形的面积最大，此时有

感知，并FGGH1，最大面积为1. 进行空间

想象，得

到答案. 点评：小题小作，半猜半做.此法

虽不严谨，但数学猜想是数学发

展中最活跃、最主动、最积极的

因素之一,是人类理性中最富有创

造性的部分，直观想象也是我们

应该关注的数学核心素养之一.

解法2：函数视角—设长度

教师用幻灯片同步展示过程

核心片段比赛教案

第

3 页

共

5 页

5

5

设GH（a0a2),由GHCGa=得ABBC2GFBG2a=，所以CDBC2GF2a，SFGGH=a2a(a1)21，则当a1时，四边形EFGH的面积有最大值1.

引导学生根据（矩形面积=长×宽）目标，通过相似三角形的相似比，分析长、宽变化相互关系，由此引入长度GHa作为自变量，得到GF2a，从而列出四边形的面积关于自变量a的函数，再由二次函数的性质得到最大值. (GF=2-a，幻灯片演示过程中特别注意：GH+GF=2,为建模打下伏笔，建议放多点时间，约5分钟）

点评：函数是求解最值问题的基本方法，通过引入变量，建立函数模型，使得面积的变化规律一目了然. 学生通过教师设置的问题，积极思考，回答问题.

教师用幻灯片同步展示过程

引导学生复习回顾基本不等式

学生复习回顾基本不等式，并完成解题过程.

6

3

解法3：不等式视角

由解法2知：SFGGH=a2aQ0a2,2a0,SFGGH=a2a

ab(a,b0)

2当且仅当a=b时等号成立.ab条件：一正、二定、三相等. 研究：积定和最小

和定积最大

点评：不等式也是求解最值问题的基本方法，通过定值的配凑，运用基本不等式既适当地减少了运算量，也体现了函数、方程、不等式之间的相互转化.

a2a

1，2当且仅当a=2-a,即a1时，四边形EFGH的面积有最大值为

1.2

7

2 拓展探究：经过探究，我们发现当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大.此结论是否可以推广至一般的与对棱平行的截面？如果可以，请问一般的结论是什么？

教师用幻灯片同步展示过程

解：易得截面EFGH是平行四

边形.设ABa,CDb,

FGH（即为异面直线AB和CD所成的角或其补角，是一个常数）.又设

核心片段比赛教案

第

4 页

共

5 页

如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？

GHx,FGy,则由平面几何xCGyBG,,两aBCbBCxy1,即式相加得abby(ax)

a知识可得SYEFGHFGgGHgsinbxgg(ax)gsinabsinx(ax)a.

学生积极思考，踊跃发言.

Qx0,ax0且x(ax)a

bsinabsinx(ax)

a4当且仅当xax时等号成立，ab此时x,y. 22即当截面EFGH的顶点E、F、G、H 为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大.

引导学生从特殊到一般，不断探索，得出结论：当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大.

8

1 归纳总结（师生共同进行）

本片段我们学习了空间四面体中与一组对棱平行的截面四边形的面积的最值问题: （1）判断四边形的形状直线和平面平行的性质定理直线和平面垂直的判断定理

（2）求四边形面积的最值——三种方法

解法一：几何直观 解法二：函数视角——设长度；

解法三：不等式视角.

美国数学家哈尔斯说:“问题是数学的心脏”，好的问题是会下金蛋的鸡。在平时的教学实践中，教师要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，从不同的视角对问题进行全方位的剖析，让学生亲身经历数学问题的探究历程，对数学学习产生源于内心的兴趣，从而加深对题意的理解。

核心片段比赛教案

第

5 页

共

5 页