3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计及课堂实录

直线的倾斜角和斜率教学设计

一、内容和内容解析

内容：解析几何介绍，直线的倾斜角和斜率。

本课是解析几何第一课时。解析几何的基本思想和方法应当得到适当的体现，因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。

本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。

综上，从解析几何的基本方法——坐标法的基本思想考虑，斜率概念是本课时的核心概念,利用五环教学法，让学生成为教学的主体。

本课的教学重点是：

使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法；

理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。以学生分组讨论为主，自我总结提高。

二、目标和目标解析

1．理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。

2．理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。

3．通过五环教学，让学生成为课堂的主体，渗透数学文化教育。

三、教学问题诊断分析

平面几何中，“两点确定一条直线”是关键，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向，这与‘一个点和直线的方向确定一条直线’是一致的”。在教学中应注意引导学生建立这种联系。

由于学生还没有系统学习三角函数，所以要求学生利用补充的公式对倾斜角和斜率的关系进行研究，并猜想出一般的结论，是比较困难的。

函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。

基于上述分析，确定本课时的教学难点：

直角坐标系下刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。

四．教学支持条件分析

可以借用几何画板动态演示坐标系下确定直线的几何要素，倾斜角的变化与斜率变化之间的关系等。借助实物展台展示学生的研究方法和计算过程。

五．教学过程设计

（一）预习检测

通过对预习检测题的学生自我解答，反馈学生预习效果。教师引导解答。体现教学中学生的主体性。

在平面几何里，我们直接依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。现在我们采用另一种研究方法：坐标法。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。

本章首先在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离等。

本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。

（设计意图：使学生了解学习的新内容的特点及意义。）

（二）预学1直线的倾斜角概念的形成

问题1

平面几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？

（设计意图：引导学生复习初中学过的相关知识，寻找本课时学习内容的固着点、生长点。）

预设的回答：两点确定一条直线。

启发引导：还有没有别的方法？能否利用给定的直角坐标系？

在学生一定时间的思考后提出

问题2在直角坐标系内任给一个点，过这个点的直线有无数条。再给一个什么条件就可以唯一确定一条直线呢？请动手操作一下。

预设的回答：可能会有“与x轴的交角”“与y轴的交角”等。

启发性讲解：（借助于信息技术演示）可以发现，过一个点的直线有无数条，再借助坐标轴，给定直线与坐标轴的交角，那么直线就唯一确定了。一般的，我们以水平线x轴为基准，这也符合我们日常表示物体倾斜程度的习惯。因此我们约定图1中的角α表示直线的倾斜程度，把它叫做直线的倾斜角。

由教师给出直线的倾斜角的定义，指出倾斜角的意义：

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）．图2中直线l的倾斜角α为锐角，直线l’的倾斜角α’为钝角。当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0。

（这个定义可否这样给出：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的最小正角α叫做直线l的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此直线的倾斜角α的取值范围为0≤α<180．（这样做的原因是，定义简洁，自明，惟一，可以根据定义进行判断，而不需要用图形对定义进行补充说明。））

2.追问：由定义，倾斜角的范围是什么？

（设计意图：在定义的形成过程中主要上针对个别条直线，研究的重点是定义的形成，通过这个问题引导学生研究所有直线与其倾斜角的关系，将定义具体化，全面化，同时得到倾斜角的意义。）

预设的答案：倾斜角α的取值范围为0≤α<180。

倾斜角的意义：平面内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角步等。因此，直线的倾斜角表示平面内一条直线的倾斜程度。

小结讲授：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope）。斜率常用小写字母k表示，即k=tanα。

预学2.直线的斜率

（设计意图：引导学生通过有代表性的具体实例的分析，利用“提示”中的知识，结合初中学过的正切值，了解斜率取值的特点，渗透分类讨论点思想总结出斜率的意义。此处也可以多增加一些角，用计算器计算）

（活动方式：由学生独立完成，教师在方法上予以指导——分类讨论法，并类比倾斜角的意义思考概括。）

计算过程：表1：

倾斜角

斜率

30

ooooooo45

o60

o135

o120

o150

o

预设的答案：倾斜角α是90的直线没有斜率；倾斜角α不是90的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同。斜率大于0的直线的倾斜角为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于0的直线的倾斜角为钝角，并且斜率越小倾斜角越大。（此处可以结合具体计算过程得到的表1进行理解。）

因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。

（四）直线斜率的坐标计算法

（设计意图：逐步实践坐标法。）

（活动方式：先由学生初步坐标化，教师引导分类求解。）

活动过程：

原问题转化为：给定两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐标，求出直线P1 P2的斜率k。

活动结果：综上所述，我们得到经过两点的直线的斜率公式是：

o o

追问：上述公式的适用范围是什么？与所取的点的坐标是否有有关，与所取点的先后顺序是否有关？

（设计意图：辨析公式。）

（五）典例解析

例1如图5，已知A(4，2),B(-8，2),C（0，-2）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

（设计意图：巩固本课时所学的基本知识。）

例2

已知A(1，2)B(x,3)C(-3，-1)在直线一条直线l上，求x的值。

（设计意图：通过分组讨论，自我解答，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想。）

（六）拓展提升

例3已知直线l的斜率k≤1,求直线的倾斜角α的取值范围。

（设计意图：通过分组讨论，自我解答，体现五环教学中学生的主体意识和对知识的综合运用的能力）

（七）小结

问题6：通过本节课的学习你有哪些收获？可以从知识，方法，数学思想，经验等方面谈谈。

预设的回答：

知识方面：倾斜角的定义，斜率的定义和利用坐标求斜率的公式及其适用范围；

方法：五环教学法，坐标法；

数学思想：数形结合，分类讨论，化归等数学思想；

经验：今天所学的知识都是源于已有的知识经验，倾斜角是角概念基础上学的，斜率是在坡度概念基础上进一步坐标化得到的。所以在学习过程中要注意知识间的联系。

六．目标检测设计

练习1

在仔细阅读教材的基础上完成教材3.1.1之后的练习，写在书上即可。

（设计意图：培养数学阅读的习惯，和良好的数学学习的习惯，巩固本课时学习的内容。）

练习2

习题3.1A组1——5题。写在作业本上

（设计意图：通过灵活应用达到理解本课时所学内容的目的。）

七．后记――一点感想

在课题组活动之前，为了使自己能在课题活动中有更大的收获，事先认真地写了教学设计，课题组的活动后又进行了修改．通过这一过程我深深的感到教材、教师用书中的话语是需要字斟句酌仔细研究才能理解的，理解教材、理解数学的本质是写好教学设计的基础和关键所在，在教学中体现学生的主体地位，体现新课改的教学理念。