1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学目标设计

空间几何体的表面积与体积（学案）

考纲要求

1、

了解球、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式

2、

了解球、柱体、锥体、台体的体积的计算公式

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积圆柱S侧＝______ 2πrh体积V＝Sh＝πr2h（续表）面积圆锥体积S 侧＝πrl111V＝Sh＝πr2h＝πr2

l2－r2

3331V＝(S上＋S下＋S上S下)h

312＝π(r21＋r2＋r1r2)h

3圆台S 侧＝π(r1＋r2)l直棱柱正棱锥S 侧＝Ch1S侧＝Ch′

2V＝Sh1V＝Sh

3

（续表）面积正棱台体积1S侧＝(C＋C′)h

24πR2S 球面＝______1V＝(S上＋S下＋S上S下)h

34V＝πR3

3球2.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

3．等积法的应用(1)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．(2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

考点1几何体的面积例1：(1)(2014年山东)一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为__．

11解析：设六棱锥的高为h，体积为V＝Sh＝2 3，所以331×6×2×2×3h＝2 3.解得h＝1.设斜高为h′，则h′＝112＋32＝2，则该六棱锥的侧面积为2×2×2×6＝12. 答案：12

(2)(2013 年重庆)某几何体的三视图如图8-2-3，则该几何体的表面积为()图8-2-3A．180B．200C．220D．240

解析：几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，1下底为8，高为4的等腰梯形，所在底面面积为×(2＋8)×4×2

2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200.所以四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.故选D.答案：D【规律方法】第1小题是求实体的面积；第2小题只是给出几何体的三视图，求该几何体的表面积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算.注意表面积包括底面等腰梯形的面积.

【互动探究】1．(2013 年陕西)某几何体的三视图如图8-2-4，则其表面3π．积为________图8-2-4解析：综合三视图可知，立体图是一个半径r＝1的半个球1体．其表面积为×4πr2＋πr2＝3π.

2

考点2几何体的体积例2：(1)(2014 年安徽)一个多面体的三视图如图8-2-5，则该多面体的体积是()图8-2-5A.233B.476C．6D．7

解析：由题意，该多面体的直观图是一个正方体ABCD-A′B′C′D′挖去左下角三棱锥A-EFG 和右上角三棱锥C′-E′F′G′.如图D31，则多面体的体积为V＝2×2×2－11232×××1×1×1＝.

323图D31答案：A

(2)(2014年新课标Ⅱ)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为(

) 33A．3

B.2

C．1

D.2

解析：如图D32，连接AD，显然AD⊥

面BCC1B1，即AD为三棱锥A-B1DC1的高，

111VAB1DC1＝3×S△B1DC1×AD＝3×2×2×

3×3＝1. 答案：C

图D32【互动探究】2．(2012 年广东)某几何体的三视图如图8-2-6，则它的体积为()图8-2-6A．12πB．45πC．57πD．81π

解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．根1据三视图中的数量关系，可得V＝V圆锥＋V圆柱＝3×π×32×52－32＋π×32×5＝57π.故选C. 答案：C

考点3立体几何中的折叠与展开例3：(2014 年上海)底面边长为2 的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3(如图8-2-7)，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.解：由题意知，在P1P2P3中，P1A＝P3A，P1B＝P2B，P2C＝P3C，所以AB，AC，BC 是P1P2P3的三条中位线．图8-2-7

因此，△P1P2P3是正三角形，且边长为4. 设顶点P在底面ABC内的投影为点O，

显然点O为正三角形ABC的中心，

22 3AO＝×22－12＝，

33PO＝222 －3322 6＝，

3112 62 2所以VP-＝××2×3×ABC323＝3.

【互动探究】3．圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD，求圆柱的侧面上从A 到C 的最短距离．解：如图D33，由圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形，可知：圆柱高CD为5 cm，底面半径为2.5 cm，底面周长为

5π cm，则AD为2.5π cm，圆柱侧面上从A到C的最短距离即是5矩形ABCD的对角线长为52＋2.5π2＝2

π2＋4 (cm)．

图D33

●难点突破●⊙利用函数的方法解决立体几何问题例题：如图8-2-8，等腰三角形ABC的底边AB＝6 6，高CD＝3，点E是线段BD上异于B，D的动点，点F在边BC上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF翻折至△PEF，使PE⊥AE，记BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积．

(1)求V(x)的表达式；

(2)当x为何值时，V(x)取得最大值？

图8-2-8