复习参考题优质课教案设计

空间点、线、面之间的位置关系

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

2．空间中两直线的位置关系

(1)空间中两直线的位置关系

平行共面直线相交异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

π0，．

②范围：2(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．

(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

[小题体验]

1．下列说法正确的是(

) A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线

B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面

C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面

D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面

答案：D 2．(教材习题改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下

列四个命题，其中正确的命题是________．

①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b．

答案：③④

1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．

2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．

3．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．

[小题纠偏]

1．(2017·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(

) A．相交或平行

C．平行或异面

B．相交或异面

D．相交、平行或异面

解析：选D

依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．

2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(

) A．b⊂α

C．b⊂α或b∥α

B．b∥α

D．b与α相交或b⊂α或b∥α

解析：选D

b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．

3．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有(

) A．4个

C．2个

B．3个

D．1个

解析：选A

首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面．

考点一

平面的基本性质及应用重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

证明：(1)如图，连接EF，A1B，CD1．

∵E，F分别是AB，AA1的中点，

∴EF∥A1B．

又A1B∥CD1，

∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面．

(2)∵EF∥CD1，EF

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，

得P∈平面ABCD．

同理P∈平面ADD1A1．

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA．

∴CE，D1F，DA三线共点．

[由题悟法]

1．点线共面问题证明的2种方法

(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；

(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．

2．证明多线共点问题的2个步骤

(1)先证其中两条直线交于一点；

(2)再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．如“本例”中第(2)问．

[即时应用]

如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．

证明：因为AB∥CD，

所以AB，CD确定一个平面β．

又因为AB∩α＝E，AB⊂β，

所以E∈α，E∈β，

即E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，

因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

所以E，F，G，H四点必定共线．

考点二

空间两直线的位置关系重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，

有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论的序号为________．

解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．

答案：③④

[由题悟法]

[即时应用]

1．上面例题中正方体ABCD-A1B1C1D1的棱所在直线中与直线AB是异面直线的有________条．

解析：与AB异面的有4条：CC1，DD1，A1D1，B1C1．

答案：4 2．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填上所有正确答案的序号)

解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．

答案：②④

考点三

异面直线所成的角重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．

(1)求证：AE与PB是异面直线；

(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值．

解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，

∴平面α即为平面ABE，

∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，

所以AE与PB是异面直线．

(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，

所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角．

∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝3，AE＝2，EF＝2，AE2＋EF2－AF2cos∠AEF＝

2·AE·EF＝2＋2－311＝，故异面直线AE与PB所成角的余弦值为．

42×2×24

[由题悟法]

用平移法求异面直线所成的角的3步骤

(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

[即时应用]

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

(1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

解：(1)连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．

∵AB1＝AC＝B1C，

∴∠B1CA＝60°．

即A1D与AC所成的角为60°．

(2)连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

AC⊥BD，AC∥A1C1，

∵E，F分别为AB，AD的中点，

∴EF∥BD，

∴EF⊥AC．

∴EF⊥A1C1．

即A1C1与EF所成的角为90°．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为(

) A．P∈m，m∈α

C．P⊂m，m∈α

B．P∈m，m⊂α

D．P⊂m，m⊂α

解析：选B

点在直线上用“∈”，直线在平面上用“⊂”，故选B．

2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(

) A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

解析：选D

由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．

3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是(

) A．62

C．122

B．12 D．242 解析：选A

如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A．

4．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．

答案：1或4 5．如图，平行六面体ABCD

-A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．

解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1．故符合条件的有5条．

答案：5 二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．

2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(

) A．相交

C．平行

B．异面

D．垂直

解析：选A

由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，

从而四边形A1BCD1是平行四边形，

所以A1B∥CD1，

又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，

则A1B与EF相交．

3．下列命题中，真命题的个数为(

) ①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；

②两条直线可以确定一个平面；

③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；

④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l．

A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选B

根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2．

4．如图，ABCD

-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(

)

A．A，M，O三点共线

C．A，M，C，O不共面

B．A，M，O，A1不共面

D．B，B1，O，M共面

解析：选A

连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1

的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．

5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，则异面直线AE和CF所成的角的余弦值为(

) A．C．3

230

10B．330

101D．

2解析：选C

如图，设正方体的棱长为a，取线段AB的中点M，连接CM，MF，EF．则MF綊AE，所以∠CFM即为所求角或所求角的补角．在△CFM中，MF＝CM＝56a，CF＝a，根据余弦定理可得cos∠CFM＝223030，所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为．故选C．

10106．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．

解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．

答案：3 7．(2017·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．

上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．

解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．

答案：①

8．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC

所成角的正切值为________．

解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，

因为C是圆柱下底面弧AB的中点，

所以AD∥BC，

所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，

所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，

因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，

所以C1D＝2AD，

所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，

所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2．

答案：2 9．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：

(1)AM与CN是否是异面直线？说明理由；

(2)D1B与CC1是否是异面直线？说明理由．

解：(1)AM与CN不是异面直线．理由如下：

如图，连接MN，A1C1，AC．

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，

所以MN∥A1C1．

又因为A1A綊C1C，

所以四边形A1ACC1为平行四边形，

所以A1C1∥AC，

所以MN∥AC，

所以A，M，N，C在同一平面内，

故AM和CN不是异面直线．

(2)D1B与CC1是异面直线．

理由如下：

因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．

假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．

所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．

10．如图所示，在三棱锥P -ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝23，PA＝2．求：

(1)三棱锥P -ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．

1解：(1)S△ABC＝×2×23＝23，

2故三棱锥P -ABC的体积为

1143V＝·S△ABC·PA＝×23×2＝．

333

(2)如图所示，取PB的中点E，连接DE，AE，

则DE∥BC，

所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．

在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，

DE

2＋AD

2－AE222＋22－23则cos∠ADE＝＝＝．

2DE·AD2×2×243即异面直线BC与AD所成角的余弦值为．

4三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．如图是三棱锥D-ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(

)

A．3

31B．

2D．2

2C．3

解析：选A

由三视图及题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE＝2，由于O是中点，在直角三角形ABC中可以求得AO＝2，在直角三角形DAO中可以求得DO＝3．在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝值为3．

31＋3－23＝，故所求余弦2×1×332．如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2．

(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?

(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．

解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M．

因为侧棱A1A⊥底面ABC，

所以侧面A1ACC1⊥底面ABC．

又因为EC＝2FB＝2，

1所以OM∥FB∥EC且OM＝EC＝FB，

2所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF．

因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，

故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．

法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ．

因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，

所以PQ∥AE，PB∥EF，

所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，

因为PB∩PQ＝P，PB，PQ

⊂平面PBQ，

所以平面PBQ∥平面AEF．

又因为BQ⊂平面PBQ，

所以BQ∥平面AEF．

故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．

(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．

易求AF＝EF＝5，MB＝OF＝3，OF⊥AE，

所以cos∠OFE＝OF315＝＝，

EF5515．

5所以BM与EF所成的角的余弦值为