探究与发现 为什么是双曲线的渐近线教学设计第二课时

《双曲线及其标准方程》

（第一课时）

教学设计

遵化市新店子中学 马桂利

课题：双曲线及其标准方程

【教材分析】

圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。本节课是高中数学选修1-1第二章第二节第一课时的内容，，是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程，最后反思应用。它是学习双曲线的性质及其应用的基础。双曲线的定义与椭圆的定义很相似，但不容易掌握而又非常重要，学习时要注意和椭圆义联系与区别，为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备，又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。

【学情分析】

知识结构分析：

学生刚刚学习了椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教学过程中要引导学生关注双曲线与椭圆的区别和联系. 能力体系分析：

本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学过程中在培养学生逻辑推理能力的同时需着重关注学生的运算能力. 【教学目标】

知识与技能：通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义；

掌握双曲线的焦点、焦距与标准方程的关系，并能熟练应用。

过程与方法：通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；

情感态度价值观：通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生的观察和分析能力，进一步认清事物的本质特征的兴趣. 【教学重点】

双曲线的定义及双曲线的标准方程. 【教学难点】

双曲线标准方程的推导方法及化简过程. 【教具准备】

多媒体投影仪，几何画板动画

【教学方法】

采用启发、探究式教学.

【教学环节】

教学环

节

复习回顾: （一）

平面内与两定点F1，F2的距离

复习的和等于常数2a 学生完成导学案的表1 回

顾

的点M的轨迹叫做 .

引

入

提出问题1: 教学内容

师生活动

通过回忆椭圆的相关知识为本节内容的学习打下基础

设计意图

新

课

平面内与两定点F1，F2的距离

差为常数的点的轨迹是什 思考问题1 么？

（二）

数学试验演示：

实

验[1]取一条拉链；

定

义

点F1，F2；

[3] 拉动拉链（M）。

性，突出学生主体地位

探

究

[2]如图把它固定在板上的两

教师提出问题，学生分组操充分调动学生的积极思考：拉链（M）运动时|MF1|、作，感知双曲线的形状. 引

出

|MF2|、|F1F2|满足什么条件？

教师手动演示双曲线的形成

过程，先演示靠近F2的一

支，由学生总结动点特征: MF.

1MF2常数（三）

动

画

演

示

教师借助经典的拉链动画，引

定

义

导学生总结动点M在运动过

程中的特征，从而得出双曲线并解释为何有这样的特征通过总结特征提高学（随着拉链的闭拢和拉开，生的语言表达能力，对两条线段减小或增加的量相图形的认知能力. 等，所以差值始终是同一个

常数）

再演示靠近F1的那一支，

仍然由学生总结特征: MF2MF1常数.

得

出

的定义.

教学

环

节

教学内容

（三）

动

画

定

义

导学生总结动点M在运动过程中的特征，从而得出双曲线

师生活动

教师强调以上两个常数是相等的，两支曲线合在一起叫做双曲线，引导学生把两个

设计意图

学生概述定义时往往会漏掉常数的范围，这个问题暂时保留，下一个环节来解决。

演

示

教师借助经典的拉链动画，引式子合二为一：MF1MF2常数.

得

出

的定义. 学生把数学式子转化成自然保留常数的范围这一问语言，概述双曲线的定义：题，由学生自己发现，平面内到两个定点的距离的方能印象更加深刻. 差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线.

(四) 定

义

剖析定义中的要点：

①“平面内”三个字容易 第一点教师做提醒；

第二点要点拨学生去掉“绝对值”三个字后点的轨

迹会是什么，学生慎重考虑

学生的表达往往不严漏掉，去掉后不严谨；

②由学生发现“绝对值”三个字的重要性；

③常数是不是像椭圆中一后应该能够找到正确答案:谨，“平面内”这三个字去掉绝对值后轨迹变成了双是很容易被忽略的，所学生做题时需注意这一点；

第三点由学生分组去讨

第二点学生略作思考，就能够意识到这三个字的重要性；

第三点对学生而言最为困难，如果强硬给出的话，学生被动接受，不利于学生的理解和掌握，所以我采取小组讨得出范围，加深学生对样有范围限制？如果有的话，曲线的一支.之后教师提醒以教师要强调. 刚才给出定义时没有加上剖

析

是什么？为什么？

常数的范围，定义叙述不完论，得到结论：

①常数等于F1F2时，点的轨迹是直线F1F2上以F1、F2为端点向外的两条射线；

②常数大于F1F2时，点的轨迹不存在；

夯

实

整，所以现在要对定义进行补基

础

充，确保定义的严谨性.最终双曲线的定义为：

平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线.两个定点叫做双曲③常数等于0时，点的轨迹论的做法，由学生自己线的焦点，两焦点间的距离叫是线段F1F2的垂直平分线.

做双曲线的焦距.通常情况下，焦距用2c表示，常数用2a两类曲线中a和c的大小关而在双曲线中，ca0.

要提醒学生注意. 以双曲线和椭圆作比较，范围的理解. 在椭圆中，ac0,表示，显然这里有2c2a0.

系不同，

教学环

节

(五)

教学内容

师生活动

学生刚刚学习过椭圆，对

设计意图

回顾椭圆标准方程的推导步椭圆的标准方程的推导过程骤，推导双曲线的标准方程. 印象比较深刻，用同样的步

标准方程为

x2y221.2

ab 其中a0,b0.

骤推导双曲线的标准方程：

①建系

以直线F1F2为x轴，线段

F1F2的垂直平分线为y轴

建立平面直角坐标系.

②设点

设双曲线上任意一点M

类

比

椭

圆

推

导

方

程

椭圆的标准方程有两种，双曲线的方程在推导时也可以换一种建系方式，得到另一种形式的方程：

y2x2 221.

ab坐标为(x,y)，焦距为2c,则

F1(c,0),F2(c,0).常数为2a.

③写出限制条件

MF1MF22a.

④列出等式

(xa)2y2(xa)2y22a. ⑤化简这一步由学生自己

演板，最终化简为

x2y21a2c2a2 其中a0,b0.

动手完成，并且找一个学生培养学生的运算能力.

通过双曲线与椭圆的对比，学生可以加深对

像椭圆一样，为了使双曲线两种曲线的理解. 方程的形式更加简洁，结合

如何判断焦点所在轴？

学生思考并做答：在等式右边是1或其它正常数时，焦点ca0,可设c2a2b2, 两种形式的标准方程，应该其中b0(意义讲性质时再涉及).故双曲线的方程可化22xy为221.这是焦点在xab在系数为正数的轴上.这与椭轴上的双曲线的标准方程，圆判断焦点所在轴的方法也焦点坐标为F1(c,0),F2(c,0).

不一样，同样要给学生强调. 双曲线与椭圆方程中a、b、c的关系不同，要给学生强调，这是今后在做题过程中学生易混淆的地方.

教学环

节

(六)

教学内容

例1、已知点F1(5,0),F2(5,0),动点P到两点的距离之差的绝对值等于6，求动点P的轨迹方程.

师生活动

例1难度系数不大，课前学

生自己独立完成，一般情况

下学生会在练习本上直接写

出本题的正确答案，所以教 师要通过投影给出规范的解

设计意图

对例题的条件进行修改，得题步骤. 到如下四个变式训练：

本节课的重点就是四个变式均是对定义的考双曲线的定义及标准例

题

1、已知F1(0,5),F2(0,5),动点查，如果学生对定义中的要方程，而定义中的要点讲

解

P到两点的距离之差的绝对值点理解到位，就可以顺利地一是绝对值，二是常数等于6，求点P的轨迹方程. 把四个变式求解出来. 的范围，设计例1就是学

以

致

用

2、已知双曲线的焦距为10，双曲线上一点P 到F1、 F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

要使学生正确把握定义，正确理解定义.

3、已知点F1(5,0),F2(5,0),动教师要强调变式训练3中表

点P满足PF1PF26求点示双曲线的一支方程

P的轨迹方程.

4、已知F1(5,0),F2(5,0),动如何表示，这是易错点. 点P满足PF1PF210.求点P的轨迹方程. 例2比例1难度略大，计算

量也稍大.一般情况下学生例2、已知双曲线的一个焦点c5和双曲线过点为F1(5,0)，点P位于双曲会利用线上，线段PF1的中点坐标为P(5,4)列方程求解，此法（0,2）求双曲线的标准方程. 思路自然但运算较繁；有些变式训练4中射线的方程应 教师通过例2总结学生的两种方法,并通过两种方法的对比会让学生明白解题技巧的重要性，从而引导学生在日常学习中一定要多动脑思考，不止为做题而做题，一道题目有多种解法时，可权衡一下哪一种解法更有数学程度较好并且善于思考的同学会想到利用定义求出利于节省时间，提高效MF1MF2,即2a，再利用率. c5求出b,从而求出双曲线的方程，此法计算量较小，且紧扣本节的学习重点.要给学生强调定义的重要性.

教学环

节

(七) 达

标

教学内容

师生活动

设计意图

1、已知点P（x，y）满足学生自己审题，动手计算. 学生动手去做，通过|(x1)(y1)(x3)(y3)2222|=4，然后教师提问学生回答自己学生的做题状况教师计算得到的答案: 1、B.

能够看出学生对本节课知识点的掌握情况，五道练习题由浅入深，层层深入，使学生体会到学习的快乐和收获.

第3题稍有难度，教师画出图形结合定义进行讲解

则动点P的轨迹是（

）

A.椭圆

B.双曲线

C.两条射线

D.以上都不对

x2y21或

2、已知双曲线的焦点在坐标 2、499轴上，a7,b3.则双曲线的y2x21.

标准方程为 . 499 x2y2检

测

3、过双曲线431左焦点 3、8. F的直线交双曲线的左支于 及

时

M、N两点,F为其右焦点，

2反

馈

MF2NF2MN的值为 .

4.设m为常数，若点F(0,5)是双曲14、16.

y2x2线1的一个焦点，则

m=

m9

5、已知双曲线过3

22y5、

x1315P,2)，求1(2,3)P2(双曲线的标准方程.

(八) 由学生自己总结本节课的收获：

①双曲线的定义；

学生总结，加深理生自己的认知结构.突养学生的概括能力. 课

堂

小

结

收

获

整

理

学习的主要内容. 请同学们回顾本节课我们所

②双曲线的标准方程的两解，印象深刻，形成学种形式；

方法.

学生叙述不完整或不准确的地方，教师予以补充纠正，同时提醒学生要牢记定义.

③双曲线标准方程的求解出重点，抓住关键，培

教学环

节

(九) 作

业

教学内容

师生活动

设计意图

检验学生课内的掌握结能力

布

置

1、课本P54 A组1、2、5 B组2

课下独立完成，同学之间交流

情况，并培养学生的总巩

固

2、自己动手制作表格，列出所

学

椭圆与双曲线的区别和联系.

板书设计

双曲线及其标准方程

一、

双曲线的定义 二、双曲线的标准方程 三、求双曲线的标准方程

MF1MF22aF1F22c

注：

①

2a2c时

图

例2、

焦点在x轴

焦点在y轴

形

②

2a2c时 方

x

2y2y2x21.21.

③

2a0时 222ab程

a

b 焦点