3.1.3 导数的几何意义特级教师教学实录

导数的几何意义

一、引入：

导数f

(x0)表示函数f(x)在xx0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在xx0附近的变化情况。那么导数f

(x0)的几何意义是什么？

观察：当点Pn(xn，f(xn))，(n1, 2，3, 4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

二、新课

1、切线的定义：

当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线。

割线PPn的斜率：kn切线PT的斜率。

f(xn)f(x0)，

当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于xnx0

函数f(x)在xx0处的导数：

klimx0f(x0x)f(x0)f

(x0) x因为函数在一点处的导数定义的形式与切线斜率的定义相同，所以函数在一点处的导数的几何意义，就是切线的斜率.

导数是从代数方面讲的，切线是几何方面的. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.

2、导数的几何意义［板书］

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率. 曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f

(x0). 切线方程可表示为y－f(x0)=f

(x0)·(x－x0). 说明：曲线在某点处的切线与该点的位置有关; 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.

3、求曲线在某点P处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标P(x0,f(x0)); ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limf(x0x)f(x0)k，得到曲线在点x0x(x0,f(x0))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程：y－f(x0)=f

(x0)(x－x0). 特例：如果曲线y=f(x)在的导数不存在，就是切线平行于y轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0.

阅读：课本P7右下角注②

下面看几道例题，先求函数的导数，再得到切线的斜率来求切线方程. 1例1、曲线y＝上点(1,1)处的切线方程为(

) xA．x＋y2＝0 B．xy＋2＝0

C．x2y＋1＝0 D．2xy＋1＝0 答案：

A 1－1－1Δyf(1＋Δx)－f(1)1＋Δx解析：

＝＝＝

ΔxΔxΔx1＋ΔxΔyΔx→0时，趋于1，∴f′(1)＝1，

Δx

∴所求切线为x＋y2＝0.

练习1：求曲线y=x2+2在点P(2，6)处的切线方程. 解：limx0y(xx)22(x22)2xx(x)2

limlimx0xx0x0xxlim(2xx)2x

∴y|x=2=2·2=4. ∴点P处的切线方程为y－6=4(x－2)即4x－y－2=0.

练习2：过点P(1,2)，且与曲线y＝3x24x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为_______．

答案：

2xy＋4＝0 3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－(3×12－4×1＋2)解析：f′(1)＝lim

ΔxΔx→0＝64＝2 ∴所求直线方程为y2＝2(x＋1) 即2xy＋4＝0.

如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝________. 9答案：

8解析：

由题图可知，直线l的方程为：9x＋8y36＝0. 9当x＝2时，y＝，

49即f(2)＝. 499又切线斜率为，即f′(2)＝，

889∴f(2)＋f′(2)＝. 8

1抛物线y＝x2在点(2,1)处的切线方程为________；倾斜角为________．

4答案：

x＋y＋1＝0135°

Δy解析：

f′(2)＝lim

Δx→0Δx1[(－2＋Δx)2－(－2)2]4＝lim

ΔxΔx→01＝lim

(1＋Δx)＝1. 4Δx→0则切线方程为x＋y＋1＝0，倾斜角为135°.

如图，已知曲线y=1x3上一点P(2，8)，求(1)点P处的切线的斜率.

(2)点P处的切线方程. 331(xx)31x3y3

解：y=1x3

∴y=lim=lim3x0x0x3x

3x2x3x(x)2(x)311=lim［3x2+3xΔx+(Δx)2］

lim3x03x0x=1·3x2=x2

即y=x2

∴y|x=2=22=4 3∴(1)点P处的切线的斜率等于4. (2)点P处的切线方程是y－8=4(x－2)，即12x－3y－16=0 3小结：先求y，要求哪一点的切线的斜率，只要将横坐标代入到y中去，就可以了，这样可以求曲线上任一点的切线方程.

三、小结

学习了导数的几何意义，函数在一点的导数，就是函数在这点的切线的斜率，以及导数与切线的关系.f′(x0)>0，<0，=0，不存在时，分别对应切线与x轴正向的夹角为锐角、钝角，切线与x轴平行，切线与y轴平行.

四、作业

思考：

1、求曲线y=12在点P(3，4)处的切线方程. x1212yx112

limxxx12lim解：lim12limx0xx0x0x(xx)xx0(xx)xxx24

∴y′|x=3=－12233∴点P处的切线方程为y－4=－4(x－3)，即4x+3y－24=0. 3

曲线f(x)=x3+2x+1在点M处切线斜率为2，求M的坐标. ［析］利用求f(x)的导数f

(x)，根据斜率为2，先求出M的横坐标，再代入到f(x)中得到纵坐标. 解：f(x)=x3+2x+1 f(xx)f(x)(xx)32(xx)1(x32x1)∴f (x)=lim

limx0x0xx

∴f

(x)=3x2+2=2，x=0

∴f(0)=1

∴M的坐标为(0，1)

2、如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x+2y－3=0，那么(

B

) A. f

(x0)>0

B. f

(x0)<0

C. f

(x0)=0

D. f

(x0)不存在

［分析］∵x+2y－3=0，∴y=－1x3

∴f

(x0)=－1<0 (3x22)x3x(x)2(x)3=lim［3x2+2+3xΔx+(Δx)2］=3x2+2. limx0x0x222