3.2.2 直线的两点式方程PPT及课堂实录内容

3.2.2 直线的两点式方程

教学目的：

1.掌握直线方程的两点式、截距式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程 2.通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力

3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神

教学重点：直线方程的两点式、截距式的推导

教学难点：直线方程的两点式、截距式的推导及运用. 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本小节所介绍的直线方程的几种形式中，两点式、截距式给出了根据常见的条件求直线方程的方法和途径，直线方程的截距式、两点式都是由点斜式导出.讲解直线方程的两点式、截距式，着重于两点式的推导、应用以及斜率不存在的或为零时对两点式方程的讨论及变形

教学过程：

一、复习引入：

王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞

1.

直线的点斜式方程--已知直线l经过点P1(x1,y1)，且斜率为k，直线的方程：yy1k(xx1)为直线方程的点斜式. 直线的斜率k0时，直线方程为yy1；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为xx1. 2．直线的斜截式方程－已知直线l经过点P（0,b），并且它的斜率为k，直线l的方程：ykxb为斜截式.

⑴斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便. ⑵斜截式ykxb在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当k0时，斜截式方程才是一次函数的表达式. ⑶斜截式ykxb中，k，b的几何意义

王新敞

应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：

⑴A（2,1），B(6,-3)；⑵A(0,5) B(5,0)；⑶A(-4,-5) B(0,0). 设计意图：本环节从学生利用上节课学过的直线的方程的点斜式，求过两已知点的直线的方程出发，让学生“悟”出学习两点式的必要性，同时也“悟”也两点式的推导方法，以此导入新课，目的在于学生既加深学过知识的理解，又为学习新知识奠定良好的基础

二、讲解新课：

3.

直线方程的两点式

王新敞已知直线上两点A(x1,y1)，B（x2,y2)

(x1x2)，求直线方程. 首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：

yy1y2y1(xx1)

x2x1y2y1yy1xx1，这两者表示了(xx1)可以导出x2x1y2y1x2x1由yy1直线的范围是不同的.后者表示范围缩小了.但后者这个方程的形式比较对称和美观，体现了数学美，同时也便于记忆及应用.所以采用后者作为公式，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式

王新敞所以，当x1x2，y1y2时，经过A(x1,y1)

B（x2,y2)的直线的两点式方程可以写成：yy1xx1

y2y1x2x1王新敞探究1：哪些直线不能用两点式表示？

答：倾斜角是0或90的直线不能用两点式公式表示

00王新敞探究2：若要包含倾斜角为00或900的直线，应把两点式变成什么形式？

答：应变为(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)的形式

王新敞探究3：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，还有没有其他的途径来进行推导呢？

答：有，利用同一直线上三点中任意两点的斜率相等

4．直线方程的截距式

定义：直线与x轴交于一点（a,0）定义a为直线在x轴上的截距；直线王新敞与y轴交于一点（0,b）定义b为直线在y轴上的截距.

在例1（4）中，得到过A(a,0) B(0, b) （a,b均不为0）的直线方bxyxb，将其变形为：1

aab以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式.有截距式画直线比较方便，因为可以直接确定直线与x轴和y轴的交程为y王新敞点的坐标

探究4：a,b表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？

答：不是，它们可以是正，也可以是负，也可以为0. 探究5：有没有截距式不能表示的直线？

答：有，当截距为零时.故使用截距式表示直线时，应注意单独考虑这几种情形，分类讨论，防止遗漏

王新敞王新敞三、讲解范例：

例1 求过下列两点的直线的两点式方程，再化为斜截式方程. （1）A（2,1），B（0，－3）；（2）A（－4，－5），B（0,0）

（3）A（0,5），B(5,0)；(4) A(a,0) B(0, b)（a,b均不为0）

设计意图：为更好地揭示直线方程两点式公式的内涵，加深学生对公式的理解，本环节通过创设不同角度的四个问题，供学生思考、分析，让学生体会数学的“对称美”，同时又培养了学生严密的逻辑思维能力，渗透了分类讨论的数学思想。另外，通过学生完成练习，既巩固了两点式的应用，又产自然地引导出下一环节讲解的截距式

王新敞例2 说出下列直线的方程，并画出图形. ⑴倾斜角为45，在y轴上的截距为0；

⑵在x轴上的截距为－5，在y轴上的截距为6；

⑶在x轴上截距是－3，与y轴平行；

⑷在y轴上的截距是4，与x轴平行. 设计意图：在讲完两点式后，紧接着讲解截距式，有利于比较两种形式的方程，从而有助于学生理解两者之间的内在的联系和区别，在具体应用截距式时能考虑到截距为0与不为0的两种情况，并建立完善的知识的结构

0王新敞四、课堂练习：

（1）过点P(2，1）作直线l交x,y正半轴于AB两点，当|PA||PB|取到最小值时，求直线l的方程. 解：设直线l的方程为：y1k(x2),(k0)

令y＝0解得x2∴A（21；令x＝0，解得y12k

k1，0），B（0，12k），

k∴|PA||PB|＝(112)(4k)

2k84(k21)8424

2k2当且仅当k1即k1时，|PA||PB|取到最小值. 又根据题意k0，∴k1

所以直线l的方程为：xy30

王新敞评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k＝1的情形

王新敞（2）一直线被两直线l1：4xy60，l2：3x5y60截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程. 解：设所求直线与l1，l2的交点分别是A、B，设A(x0,y0），则B点坐标为(x0,y0)

王新敞①4x0y060因为A、B分别在l1，l2上，所以

3x5y60②00①＋②得：x06y00，即点A在直线x6y0上，又直线x6y0过原点，所以直线l的方程为x6y0. （3）直线AxBy10在y轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3xy33的倾斜角的2倍，则( ) A. A＝3，B＝1 C.A＝3，B＝－1

B.A＝－3，B＝－1 D.A＝－3，B＝1

解：将直线方程化成斜截式y因为A1x. BB1＝－1，B＝－1，故否定A、D. B，

32∴直线AxBy10的倾斜角为2＝，

3A2∴斜率－tan＝-3， B3又直线3xy33的倾斜角＝∴A＝－3，B＝－1，故选B

王新敞（4）若直线AxByC0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件( ) A.A、B、C同号

B.AC＜0，BC＜0 C.C＝0，AB＜0 D.A＝0，BC＜0 解法一：原方程可化为yACx（B≠0）

BB王新敞∵直线通过第二、三、四象限，

∴其斜率小于0，y轴上的截距小于0，即－∴AC＜0，且－＜0 BBAC＞0，且＞0 BB即A、B同号，B、C同号.∴A、B、C同号，故选A 解法二：(用排除法) 王新敞若C＝0，AB＜0，则原方程化为y由AB＜0，可知－ACAx＝－x. BBBA＞0. BCC.由BC＜0，得－＞0. BB∴此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C. 若A＝0，BC＜0，则原方程化为y∴此时直线与x轴平行，位于x轴上方，经过一、二象限.故排除D. 若AC＜0，BC＜0，知A、C异号，B、C异号

∴A、B同号，即AB＞0. ∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除B.故A、B、C同号，应选A

王新敞（5）直线yaxb（ab＝0）的图象是( )

yyyy-1Ox-1OxOxO1xABCD

王新敞解法一：由已知，直线yaxb的斜率为a，在y轴上的截距为b

又因为ab＝0. ∴a与b互为相反数，即直线的斜率及其在y轴上的截距互为相反数

王新敞图A中，a＞0，b＞0;图B中，a＜0，b＜0;图C中，a＞0，b＝0 故排除A、B、C.选D. 解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率a≠0，于是令y＝0，解得xbb.又因为ab＝0，∴ab，∴x1

aa∴直线在x轴上的截距为1，由此可排除A、B、C，故选D

五、小结

：通过列表从名称、形式、已知条件、使用范围、示意图等方面对所学的直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)进行填表比较：

王新敞直线名称

点斜式

斜截式

已知条件

直线方程

使用范围

示意图

P1(x1,y1),k

yy1k(xx1)

k，b

k存在

k存在

ykxb

(x1,y1)两点式

（x2,y2)

截距式

yy1xx1

x1x2,y1y2

y2y1x2x1xy1

ab

a,b

a0,b0

设计意图：为帮助学生用联系的观点来学习知识，又能把四种形式的直线方程加以区别，以便更好地运用它们，本环节主要采用比较法的形式小结

六、课后作业：

王新敞七、板书设计（略）

八、课后记：