3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀完整教案

3.2.2

基本初等函数的导数公式及导数

五华县田家炳中学 温红斌

核心价值：

1.理解函数的和、差、积、商的求导法则

.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点) [自

主

预

习·探

新

知] 导数的运算法则

(1)设两个函数f(x)，g(x)可导，则

和的导数

差的导数

积的导数

商的导数

(2)常数与函数的积的导数

[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数) 思考：根据商的导数的运算法，试求函数y＝x的导数．

[基础自测] 1．思考辨析

(1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x. ( ) (2)f(x′＝－[f(x]2(f(x)≠0)．

1f′(x1[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x) [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 提问：（让学生回答）

( ) ( ) (3)运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在．

[答案]

(1)×

(2)√

(3)×

2．函数y＝x·ln x的导数是( ) A．x B.x

C．ln x＋1 D．ln x＋x

C

[y′＝(x)′×ln x＋x×(ln x)′＝ln x＋1.] 3．函数y＝x4＋sin x的导数为( ) A．y′＝4x3

B．y′＝cos x

C．y′＝4x3＋sin x

D．y′＝4x3＋cos x

1

D

[y′＝(x4)′＋(sin x)′＝4x3＋cos x．] 4．函数y＝x的导数为__________.

[合

作

探

究·攻

重

难] 类型1

9利用导数的运算法则求导数

求下列函数的导数：

(1)y＝x2＋sin 2cos 2；

(2)y＝xx－6＋2；

(3)y＝cos xln x；

x(4)y＝ex. 31xx[规律方法]

利用导数运算法则的策略

(1)分析待求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．

(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．

(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．

[跟踪训练] 1．(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( ) A．－e

B．－1 C．1

D．e B

[f′(x)＝2f′(1)＋x，则f′(1)＝2f′(1)＋1，所以f′(1)＝－1.] (2)求下列函数的导数．

①y＝x3·ex. [解]

①y′＝(x3·ex)＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′

＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．

1

类型2 导数运算法则的应用

x＋1

(1)设曲线y＝x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( ) A．2 B.2

C．－2

D．－2 (2)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为__________．

1[思路探究]

(1)切线与直线ax＋y＋1＝0垂直⇒切线的斜率为a.(2)切线与直线112x－y＋1＝0平行⇒切线的斜率为2. 解得x0＝e，y0＝e，故P(e，e) [答案]

(1)D

(2)(e，e) [规律方法]

关于求导法则的综合应用

(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．

(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．

易错警示：分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上则要设出切点．

[跟踪训练] 2．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

[解]

因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，

所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，

又因为f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3. 令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b. 又因为f′(2)＝－b，

所以12＋4a＋b＝－b，

又因为f′(1)＝2a＝－3，

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为6x＋2y－1＝0. 类型3 利用导数求曲线上的点到某直线的距离最值问题

[探究问题] 若曲线C上存在一点P到直线l的距离最短，则曲线C在点P处的切线和直线l有怎样的关系？

提示：平行

设点P是曲线y＝ex＋1上任意一点，求点P到直线y＝x－1的最小距离．

[思路探究]

与直线y＝x－1平行且与曲线y＝ex＋1相切的切线上的切点即为所求．

[解]

设与直线y＝x－1平行的直线与曲线y＝ex＋1相切于点P(x0，y0)，

由y′＝ex得y′|x＝x0＝ex0，由题意知ex0＝1，

解得x0＝0，代入y＝ex＋1得y＝2，所以P(0,2)，

故点P到直线y＝x－1的最小距离为d

[规律方法]

利用导数解决曲线上的点到某

直线的距离最值问题的解题策略

利用导数可解决与距离、面积相关的最值问题，解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．

[跟踪训练] 3．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.

提示：

依题意知抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x0)．

∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，从而求最短距离为d.

2

[当

堂

达

标·固

双

基] 1．下列运算中正确的是( ) A．(ln x－3sin x)′＝(ln x)′－3′·(sin x)′

B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′

sin x(sin x′－(x2′C．x2′＝x2

D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x

B

[根据导数的运算法则知B正确．] 2．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为( ) A．3x2＋3x

B．3x2＋3xln 3＋3

C．3x2＋3xln 3

D．x3＋3xln 3 1C

[f′(x)＝(x3)′＋(3x)′＋(ln 3)′＝3x2＋3xln 3，故选C.] 3．函数f(x)＝xex的导函数f′(x)＝__________. (1＋x)ex

[f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.] 4．直线y＝2x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________. 1提示：b＝ln 2－1. 5．设f(x)＝ax2－bsin x，且f′(0)＝1，f′3＝2，求a，b的值.

提示：

f′(x)＝2ax－bcos x，则解得a＝0.

b＝－1，π1