3.3.4 两条平行直线间的距离教学设计内容推荐

黄石市第二中学

谈运章

点到直线的距离公式

一、使用教材

教材名称：点到直线的距离

高中数学B版必修2第二章第二节2.2.4第87——89页

出版社：人民教育出版社

二、教学目标

1、知识与技能：

（1）让学生理解点到直线距离公式的推导过程

，掌握点到直线距离公式及其简单应用；

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

2、过程与方法：

（1）通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；

（2）在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般的方法.

3、情感、态度与价值观：

引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神。同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣。

三、教学重难点

1、教学重点：点到直线距离公式和简单应用

2、教学难点：点到直线距离公式的推导．

四、课时安排：1课时

五、教学用具：三角板

六、教学方法：讲授法

七、教学过程及内容

复习引入

1、已知两条直线：

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20则这两条直线垂直的条件为：

l1l2：A1A2B1B20

或者

k1k21

2、与直线AxByC0垂直的直线表示为：

BxAyD0或BxAyD0

分析：若还知道某定点坐标，则可以利用这种设法将点得坐标代入求得D的值，从而求出过定点且与已知直线垂直的直线。

举例：求垂直于直线xy20且过点A(2,3)的直线方程：设所求直线方程为xyC0，又该直线过点A(2,3)，可得C5，所以所求直线方程为xy50，即xy50。

1

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【设计意图】复习垂直的条件和过已知点与已知直线垂直的直线方程的求法，为下面点到直线距离公式的推导作铺垫。

【过渡】过直线外一点，可以根据上面的方法求出垂直于已知直线的直线方程，从而可以联立这两条直线的方程，它们的解就是两条直线的交点坐标。这样我们是否就可以得到已知点到已知直线的距离了呢？

【探究】

点到直线的距离公式

【例1】

已知直线l:xy10，P（0,2），求P点到直线的距离。

分析：要求点到直线的距离，如图1所示，可以作出P点到直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ的长即为点P到直线l的距离。

问题：该如何求直线PQ的距离呢？

引导：若能求出点Q的坐标，就可以利用两点间的距离公式：

myPQl|PQ|(x2x1)2(y2y1)2

得到PQ的长，那该如何得到Q点的坐标呢？

分析：根据上面复习引入部分的知识，只需求出过P点与直线l垂直的直线m的方程，就可以联立方程，求出点Q的坐标。

解析：

（1）

求过已知点P且与已知直线l垂直的直线m的方程：

xO设与直线l垂直的直线m的方程为：xyC0，因为m过点P（0,2），所以0+2+C=0，得到C=-2，所以m的方程为：xy-20

（2）

联立两直线方程，得到垂足Q的坐标：

设与直线l垂直的直线m的方程为：xyC0，因为m过点P（0,2），所以0+2+C=0，得到C=-2，所以m的方程为：xy-20，联立方程

xxy10

解得：xy20y

（3）

利用距离公式求出|PQ|：

12

即Q(1,3)

3222132|PQ|(0)2(2)2

222即得到点P到直线l的距离为|PQ|

【归纳】点到直线的距离的求法：

已知直线l：AxByC0，P(x1,y1)，求P点到直线l的距离的步骤：

2。

22

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S1：求过已知点P且与已知直线l垂直的直线m的方程；

S2：联立两直线l，m的方程，得到垂足Q点的坐标Q(x2,y2)；

S3：利用两点间的距离公式，求出|PQ|(x2x1)2(y2y1)2。

通过上述的三个步骤即可求得点P(x1,y1)到直线l：AxByC0的距离d的计算公式为

d|Ax1By1C|AB22

分析：当点P在直线l上时，则P点坐标满足方程Ax1By1C0，此时代入上述公式可得d0，这显然符合事实。注意分母为系数A,B的平方和的二次根。

【设计意图】这种直接利用点到直线的距离的定义推导公式的方法学生最容易理解，教材上的方法在计算上技巧性较强，对于本班学生不容易接受。而且公式的计算过程不是学习重点，故课堂上不再计算，只讲解推导的方法。点到直线的距离公式的其他推导方法参考资料《点到直线的距离公式的十三种证明方法》。

【练习1】

例1、

求点到直线的距离：

（1）A(2,3)，2xy40

（2）B(5,7)，12x5y10

（3）C(1,4)，2x30

（4）D(1,2)，2y30

解析：（1）d5；（2）d2；（3）d51，（4）d。

22例2、

已知点A(a,6)到直线3x4y2的距离d4，求a的值。

解析：a2或46。

3平行线间的距离公式

【过渡】点到直线的距离公式已经知道，那平行线间的距离公式又是怎样的呢？能否利用点到直线的距离公式推导呢？

【问题】平行线间的距离是怎样定义的呢？

【学生活动】平行线间的距离定义：平行的两条直线中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离称为这两条平行线间的距离。

【讲解】

给定两条平行直线：

l1:AxByC10l2:AxByC20

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y不妨在l1上取一点P(x1,y1)，则Ax1B1C0，即1yl2Ql1POxAxCl1与l2间的距离等于点P(x1,y1)到直线l2的距1B1y，直线1离：

d|Ax1By1C|AB22|C2C1|AB22

分析：利用本公式求两条平行直线间的距离的前提是两条直线l1与l2的x,y系数A,B必须相同。若不同，则应先将x,y的系数统一。例如求平行直线l1:xy30与l2:2x2y10的距离，可先将直线l1的方程转化为2x2y60，然后再利用平行线间的距离公式求解即可。

【练习2】

例3、

求平行线2x7y80和2x7y60的距离。

解析：d|C2C1|A2B2|68|22721453. 53yADBCOx例4、

已知点A(1,3),B(3,1),C(1,0)，求ABC的面积。

解析：AB的直线为：

lAB:y3x1xy40

1331过C点作CD垂直AB垂足为D，则

d(C,D)又

d(A,B)所以

SABC|14|52

211(31)2(13)222

152225

22例5、

求平行于直线x2y10且与它的距离为22的直线的方程。

解析：设所求的直线方程为x2yC0，则利用平行线间距离公式可得：

d|C2C1|AB22|1C|1(2)222

可解得C1210或1210。

【学生活动】练习、上台展示并给全班讲解。

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【设计意图】及时巩固，了解学生对公式、所学知识的掌握情况，有问题及时解决。同时培养学生的表达能力。

课堂小结：

1、

点到直线的距离公式：d|Ax1By1C|AB。

22；

2、

平行线间距离公式：d|C2C1|A2B2课后作业：《衡水练考王》第45页1——12题

八、板书设计

点到直线的距离

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20S3：利用两点间的距离公式，可求出

myPQl

|PQ|(x2x1)2(y2y1)2

xl1l2：A1A2B1B20

或k1k21

与直线AxByC0垂直的直线：

Od|Ax1By1C|A2B2

yl2Ql1POxBxAyD0或BxAyD0

直线l：AxByC0，P(x1,y1)，求P点到直线l的距离的步骤：

S1：求过已知点P且与已知直线l垂直的直线m的方程；

S2：联立两直线l，m的方程，得到垂足Q点的坐标Q(x2,y2)；

平行线间距离：

l1:AxByC10l2:AxByC20

d

|C2C1|A2B2

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