3.2.2 直线的两点式方程第二课时教案

3．2.2

直线的两点式方程

学习目标

1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．

知识点一

直线方程的两点式

思考1

已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求通过这两点的直线方程．

y2－y1答案

y－y1＝(x－x1)，

x2－x1即y－y1x－x1＝. y2－y1x2－x1思考2

过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？

答案

不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示. 名称

已知条件

P1(x1，y1)，P2(x2，两点式

y2)，其中x1≠x2，y1≠y2

知识点二

直线方程的截距式

xy思考1

过点(5,0)和(0,7)的直线能用＋＝1表示吗？

57y－0x－5答案

能．由直线方程的两点式得＝，

7－00－5xy即＋＝1. 57思考2

已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求通过这两点的直线方程．

y－0x－axy答案

由直线方程的两点式得＝得＋＝1. b－00－aab名称

已知条件

在x，y轴上的截距分截距式

别为a，b且a≠0，b≠0

xy＋＝1

ab示意图

方程

使用范围

y－y1x－x1＝

y2－y1x2－x1示意图

方程

使用范围

斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点

知识点三

线段的中点坐标公式

x，x＝x＋2若点P，P的坐标分别为(x，y)，(x，y)，设P(x，y)是线段PP的中点，则y＋yy＝2.121211221212

类型一

直线的两点式方程

例1

(1)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________. 答案

－2 解析

由直线方程的两点式得即y＋1x－2＝. 5－5y－－1x－2＝，

4－－1－3－2∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，

∵点P(3，m)在直线AB上，

则m＋1＝－3＋2，得m＝－2. (2)△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：

①AC所在直线的方程

②BC边的垂直平分线的方程．

y－0x－－3解

①由直线方程的两点式得＝，

3－0－2－－3所以AC所在直线的方程是3x－y＋9＝0. 3－12－21＋31②因为B(2,1)，C(－2,3)，所以kBC＝＝－，线段BC的中点坐标是22，2，即－2－2(0,2)，所以BC边的垂直平分线方程是y－2＝2(x－0)，整理得2x－y＋2＝0. 反思与感悟

(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．

(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．

跟踪训练1

已知△ABC的顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6)．求与CB平行的中位线的直线方程．

50，. 解

方法一

由A(－1，－1)，C(1,6)，则AC的中点为M2又因为A(－1，－1)，B(3,1)，则AB的中点为N(1,0)．

y－0x－1故过MN的直线为＝(两点式)，即平行于CB的中位线方程为5x＋2y－5＝0. 50－1－026－155方法二

由B(3,1)，C(1,6)得kBC＝＝－，故中位线的斜率为k＝－. 221－35550，，故中位线方程为y＝－x＋(斜截式)，即5x＋2y－5＝又因为中位线过AC的中点M2220. 类型二

直线的截距式方程

例2

求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．

解

设直线的两截距都是a，则有

3①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝，

2∴直线l的方程为3x－2y＝0；

xy②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，

aa把P(2,3)代入得a＝5，∴直线l的方程为x＋y＝5. ∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 反思与感悟

如果直线与两坐标轴都相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．

跟踪训练2

(1)直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l的方程为____________．

4(2)直线l过点P(，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l的方程为3_____________．

答案

(1)x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0；

(2)3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 解析

(1)由题意可知直线l的方程为

xy＋＝1(ab≠0)，

ab则有12|ab|＝4，－23＋＝1，ab

a＝－3，a＝4，解得或b＝2

4b＝－6.

xyxy∴直线l的方程为＋＝1或＋＝1，

424－6－3即x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.

xy(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，

ab由题意知，a＋b＋a2＋b2＝12. 4又因为直线l过点P(，2)，

342所以＋＝1，

3ab即5a2－32a＋48＝0，

a1＝4，解得b1＝3，

9b＝2，212a2＝，5

所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0 或15x＋8y－36＝0. 类型三

直线方程的综合应用

例3

已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．

y－2x－0解

如图，过B(3，－3)，C(0,2)的两点式方程为＝，

－3－23－0

整理得5x＋3y－6＝0. 这就是BC边所在直线的方程．

3＋0BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为(，2－3＋2y－0x＋53131)，即(，－)．过A(－5,0)，M(，－)的直线的方程为＝，

2222213－－0＋522即x＋13y＋5＝0. 这就是BC边上中线所在直线的方程．

反思与感悟

直线方程的选择技巧

(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．

(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．

(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．

(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．

跟踪训练3

如图，已知正方形ABCD的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB，BC所在的直线方程分别为__________________________________．

对称轴所在直线的方程为__________________．

答案

x＋y－22＝0，x－y＋22＝0 y＝±x，x＝0，y＝0 解析

∵AB＝4，

在Rt△OAB中，|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，

∴|OA|＝|OB|＝22，

由直线的截距式方程可得AB的直线方程为

y＋＝1，

2222即x＋y－22＝0. 由上面可得：B(0,22)，C(－22，0)，

xy∴BC的直线方程为＋＝1，

－2222即x－y＋22＝0，

易得对称轴所在直线的方程为

y＝±x，x＝0，y＝0. x

1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为(

) A．y＝x＋3

C．y＝x＋2

答案

A y－1x＋2解析

代入两点式得直线方程＝，

4－11＋2整理得y＝x＋3. B．y＝－x＋1 D．y＝－x－2

2．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(

) xyA.＋＝1

43xyC.－＝1

43答案

C xy解析

由点坐标知直线在x轴，y轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为＋＝1，即4－3xy－＝1. 433．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为(

) A．x＝2

B．y＝2

C．x＝3

D．x＝6 答案

B 解析

由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B. 4．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________________．

答案

4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0 4解析

①若直线过原点，则k＝－，

34∴y＝－x，即4x＋3y＝0. 3xy②若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a. aa

∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0. 5．已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边上的高AD所在直线的方程；

(3)BC边上的中线AE所在直线的方程．

y－1x－2解

(1)直线BC的方程为＝，

3－1－2－2即x＋2y－4＝0. 1(2)由(1)知kBC＝－，则kAD＝2，又AD过A(－3,0)，

2故直线AD的方程为y＝2(x＋3)，即2x－y＋6＝0. (3)BC边中点为E(0,2)，

故AE所在直线方程为即2x－3y＋6＝0. xy＋＝1，

－32xyB.＋＝1 34xyD.－＝1 34

与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：

(1)明确直线方程各种形式的适用条件

点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．

(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．

(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．

一、选择题

1．下列说法正确的是(

) y－y1A．方程＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线

x－x1B．直线y＝kx＋b与y轴的交点为B(0，b)，其中截距b＝|OB| xyC．在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为＋＝1 abD．方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示过任意不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程

答案

D y－y1解析

方程＝k表示过P1(x1，y1)且斜率为k的直线，但不包括点P1(x1，y1)，故A错；x－x1xy对于B，截距可正、可负、可为零，从而错误；对于截距式方程＋＝1中要求ab≠0. abxy2．直线2－2＝1在y轴上的截距是(

) abA．|b|

B．－b2

C．b2

D．±b

答案

B 解析

令x＝0得，y＝－b2. 3．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(

) A．3x－y－8＝0

C．3x－y＋6＝0

答案

B B．3x＋y＋4＝0 D．3x＋y＋2＝0

1－31解析

因为kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2,2)，

－5－13所以所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0. xy4．若直线＋＝1过第一、二、三象限，则(

) abA．a>0，b>0

C．a<0，b>0

答案

C 解析

因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0. xyxy5．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(

) abbaB．a>0，b<0 D．a<0，b<0

答案

A xyxy解析

两条直线化为截距式分别为＋＝1，＋＝1. a－bb－a假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．

6．过点(4，－3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有(

) A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

答案

C 解析

当a≠0且在两坐标轴上截距相等时，

xy设直线方程为＋＝1，

aa∵(4，－3)在直线上，

43∴－＝1得a＝1，

aa∴直线方程为x＋y－1＝0；

当a≠0，且截距互为相反数时，

xy设直线方程－＝1，

aa

43∵(4，－3)在直线上，即＋＝1，

aa解得：a＝7，

∴直线方程为x－y－7＝0，

当与两坐标轴上截距都为零时，可设直线方程为y＝kx，

3由－3＝4k，得k＝－，

43∴y＝－x，

4∴所求直线方程为

3x＋y－1＝0或x－y－7＝0或y＝－x，

4故共3条．

二、填空题

7．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是_____________．

xy答案

＋＝1 26解析

设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，

即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6)．

xy则l的方程为＋＝1. 268．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．

答案

3x＋2y＝0或x－y＋5＝0 解析

该直线过原点时，

设直线方程为y＝kx，

3将x＝－2，y＝3代入得：k＝－，

2∴直线方程为3x＋2y＝0. 当与两坐标轴截距不为零时，

xy设直线方程为－＝1，

aa∵直线过点(－2,3)，

23即－－＝1，

aa得a＝－5，

∴直线方程为x－y＋5＝0，

故所求直线方程为3x＋2y＝0或x－y＋5＝0.

9．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是______________．

答案

3x＋2y－6＝0 解析

由题意知，直线在y轴上的截距为3，

则在x轴上的截距为2，

xy∴该直线截距式方程为＋＝1即3x＋2y－6＝0. 23三、解答题

10．求经过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．

xy解

设所求直线方程为＋＝1. ab∵直线过点P(－5，－4)，

∴－5－4＋＝1，①

ab于是得4a＋5b＝－ab，

1又由已知，得|a|·|b|＝5，

2即|ab|＝10.②

4a＋5b＝－ab，由①②，得

|ab|＝10，

5a＝－2，a＝5，解得或

b＝－2.b＝4，

xyxy故所求直线方程为＋＝1或＋＝1. 545－2－2即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0. 11．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．

解

(1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为MBC边的中点为Nx0＋7y0＋32，2，

x0＋5y0－22，2，

x0＋5因为M在y轴上，所以＝0得x0＝－5. 2y0＋3又因为N在x轴上，所以＝0，

2所以y0＝－3.即C(－5，－3)．

50，－，N(1,0)，

(2)由(1)可得M2xy所以直线MN的方程为＋＝1. 15－212．已知三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)．

(1)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若过点C的直线l与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围．

y－0x－－5解

(1)由两点式得直线AB的方程为＝，

－3－03－－5整理得3x＋8y＋15＝0. 直线AB在x轴上的截距为－5，在y轴上的截距为－11575形的面积为S＝×5×＝. 28162－02(2)因为kAC＝＝，

0－－55kBC＝2－－35＝－. 30－315，所以直线AB与坐标轴围成的三角8

要使过点C的直线l与线段AB相交，

25结合图形知k≥或k≤－. 53