3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计第一课时

3．1.3

空间向量的数量积运算

【课标要求】

1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律．

2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．

【核心扫描】

1．空间向量的数量积运算．(重点) 2．利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点) 3．空间向量数量积的运算律．(易错点) 自学导引

1．空间向量的夹角

定义

记法

范围

→→已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角

〈a，b〉

π[0，π]．当〈a，b〉＝时，a⊥b

2想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？

提示

〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．

2．空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律

数乘向量与向量

数量积的结合律

交换律

分配律

(3)数量积的性质

(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 两个向量数(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；

(λa)·b＝λ(a·b) a·b＝b·a

a·(b＋c)＝a·b＋a·c

b＝－|a|·|b|. 量积的性质

若反向，则a·特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a

a·b(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝. |a||b|(4)|a·b|≤|a|·|b|. 想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？

提示

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积．

名师点睛

1．空间向量夹角的理解

(1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]；

π(2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角在(0，]内，利用向量求两异面直2线夹角时注意转化，两异面直线的夹角余弦值一定为非负数．

2．平面向量与空间向量数量积的关系

由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同．

3．空间向量数量积的应用

由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助于向量的数量积运算解决．

a·b(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，则cos〈a，b〉＝，可用来求两个向量的夹角．

|a||b|(2)a⊥b⇔a·b＝0，用于判断两个向量的垂直．

(3)|a|2＝a·a，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线段的长度．

注意：①数量积运算不满足消去律

若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量就不正确，即a·b＝b·c(b≠0)⇒/ a＝c.

②数量积运算不满足结合律

数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．

问题一：利用数量积求两点间的距离

例1已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且a1,b2,c3,试求

2（1）ab

（2）(abc)

思路：利用向量的平方等于模长的平方求解，老师先复***面向量的基本知识，然后引导学生这两个例题，第一个稍微对下答案，第二个引导学生如何将三个向量的平方展开，中心思想就是将前面两个看成一个数，然后利用完全平方和展开.

变式练习如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．(学生上黑板演练，老师公布答案) →→→→→[思路探索]

利用|AC1|2＝AC12＝(AB＋AD＋AA1)2求解．

→→→→解

因为AC1＝AB＋AD＋AA1，

→→→→所以AC12＝(AB＋AD＋AA1)2

→→→→→→→→→＝AB2＋AD2＋AA12＋2(AB·AD＋AB·AA1＋AD·AA1)．

因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，

→→→→→→所以〈AB，AD〉＝90°，〈AB，AA1〉＝〈AD，AA1〉＝60°

→所以AC12＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. →→因为AC12＝|AC1|2，

→→所以|AC1|2＝23，|AC1|＝23，即AC1＝23. 规律方法

利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．

问题二：求数量积

OC.例2：如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为

1，求OAOB、AB·（第一个请学生回答，第二个引导学生发现直接找两个向量的夹角是行不通的，所以要将两个向量用其他向量表示，将未知向量转化成已知向量，最好是化成同起点的已知向量，更能方表找到夹角）

解：OAOBOAOBcos601

2ABOBOA,

ABOC(OBOA)OC0

变式变式练习:已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，F为A1D1的中点，试计算：

BD·

AF

（学生自主完成，喊通学生黑板演练，适当讲评，总结一般在六面体中其他向量基本装化成同起点的三条棱为基本向量）

探究：利用数量积求夹角

如图所示，已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．（学生自主探究，引导学生发现求夹角可以转化成求数量积和求模长两个问题）

→→→解

设SA＝a，SB＝b，SC＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c三个向量两两夹角均为60°，

1∴a·b＝b·c＝a·c＝. 2→→1→→→→∵SM·BN＝(SA＋SB)·(SN－SB) 211＝(a＋b)·(c－b) 22111＝(a·c－a·b＋b·c－b2) 2221111111＝(×－＋×－1)＝－. 22222221－→→2SM·BN2→→∴cos〈SM，BN〉＝＝＝－. 3→→33|SM|·|BN|·222所以，异面直线SM与BN所成角的余弦值为. 3→→思路探索]

可先求向量OA与BC的夹角，再根据异面直线的夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．

规律方法

在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补

六．小结（1）夹角、空间向量数量积、运算律

（2）夹角、距离的求法

(五)课后巩固: →→→→→→1.已知空间四边形ABCD，求AB·CD＋BC·AD＋CA·BD的值．

π2.空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，3BC〉的值为(

)．

121A．

B．

C．－

D．0 222

3

如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．