2.1.4 平面与平面之间的位置关系公开课参赛课教案

平面与平面之间的位置关系

【本节教材分析】

（一）三维目标

1.知识与技能

结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系

2．过程与方法

进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3．情感态度与价值观

进一步培养学生的空间想象能力，培养学生全面思考问题的能力. （二）教学重点

空间平面与平面之间的位置关系。平面与平面的相交和平行. （三）教学难点

用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。

（四）教学建议

空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.

【新课导入设计】

导入一：(情境导入）

拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

导入二：（事例导入）

观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

图1 【课堂结构】

提出问题

①什么叫做两个平面平行？

②两个平面平行的画法.

③回忆两个平面相交的依据. ④什么叫做两个平面相交? ⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系. 活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义. 问题②怎样体现两个平面平行的特点. 问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交. 问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练. 讨论结果：

①两个平面平行——没有公共点. ②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.

图2 图3 ③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l. ④两个平面相交——有一条公共直线. ⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β. 如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图4.

图4 例题讲解

例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系? 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价. 解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.

图5

2

例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论. 解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.

图6 变式训练

α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( ) A.α、β都平行于直线l、m B.α内有三个不共线的点到β的距离相等

C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β

D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β

分析：如图7,分别是A、B、C的反例. 图7

答案：D 点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维. 例3 平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明道理．

解：不正确．如右下图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条a，a，…，a，…，它们是一组平行线．这时a，a，…，a，…，与平面β都平行，但12n12n此时α不平行于β，α∩β＝l. 例4 在以下四个命题中，正确的命题是(

)

①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；

③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；

A．③

B．② C．②③ D．都不正确

解析：如图所示正方体ABCD－ABCD中，对于①，平面ADDA中，AD∥平面ABCD，分别1111111111取AA、DD的中点E，F，连结EF，则知EF∥平面ABCD.但平面AADD与平面ABCD是相111111111111交的，交线为AD，故命题①错．11

对于②，在正方体ABCD－ABCD中的面AADD中，与AD平行的直线有无数条，但平面AADD11111111与平面ABCD不平行而是相交于直线AD，故②是错的．

111111对于③，在正方体ABCD－ABCD中，取AA，DD，BB，CC中点E，F，G，H，A，B，C到111111111平面EFHG的距离相等，而△ABC与面EFHG相交，故③是错的．答案：D 1课堂小结

本节主要学***面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：

①两个平面平行——没有公共点；

②两个平面相交——有一条公共直线. 另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. 作业

课本习题2.1 B组1、2、3. 当堂检测：

1．设三条互相平行的直线a、b、c中，a⊂α，b⊂β，c⊂β，则α与β的关系是(

) A．相交

C．平行或相交 B．平行

D．平行、相交或重合

2．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是(

) A．平行 C．异面 B．相交

D．平行或相交或异面

3．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有(

) A．0个

C．2个 4．下列命题中，正确的个数是(

)

4

B．1个

D．3个

①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b异面；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；

④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面．

A．1 C．3 B．2 D．4 5．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作________个．

6．一条直线和两个相交平面的交线平行，则这条直线满足________．

①与两个平面都平行；②与两个平面都相交；③在两个平面内；④至少和其中一个平面平行．

7．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．

1.解析：若α∥β，则存在满足条件的a、b、c；若α、β相交，也存在满足条件的a、b、c；若α、β重合，也存在满足条件的a、b、c.所以当三条互相平行的直线a、b、c满足题设条件时，α、β三种情形都有可能．

答案：D 2.解析：平行于同一平面的两直线平行、相交或异面．

答案：D 3.解析：依题意得，命题“a∥b，a⊥γ⇒b⊥γ”是真命题(由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”可知)；命题“a∥β，a⊥c⇒β⊥c”是假命题(直线c可能位于平面β内，此时结论不成立)；命题“α∥b，α⊥c⇒b⊥c”是真命题(因为α∥b，因此在平面α内必存在直线b1∥b；又α⊥c，因此c⊥b1，c⊥b)．综上所述，其中真命题共有2个，选C. 答案：C 4.解析：两个平面平行，两个平面就无公共点，分别在两个平面的直线也没有公共点，它们的位置关系有平行、异面两种，也可以说是不相交，因此③④对，①②错，故选B. 答案：B 5.解析：该两点在平面两侧时可以作0个，在平面同一侧时，当两点连线平行于该平面时可以作1个，相交可以作0个．

答案：0个或1个

6.解析：这条直线可能在其中一个平面内，或与两个平面都平行，所以④正确．

答案：④

7.解析：按顶点在平面两侧的个数分情况考虑，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共4＋3＝7个，故填7. 答案：7

【新课教学过程设计（二）】

第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系

第2.2.1节

直线与平面平行的判定

【本节教材分析】

（一）三维目标

1、知识与技能

（1）理解并掌握直线与平面平行的判定和平面与平面平行的判定定理；

（2）能准确使用数学符号语言、文字语言和图形语言表达两个判定定理. 2、过程与方法（1）学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理；

（2）初步学会用两个平行的判定定理解决简单的问题. 3、情感、态度与价值观

让学生在发现中学习，增强学习的积极性，进一步提高空间想象能力和严谨的思维习惯，形成办事仔细、认真和实事求是的学习态度.

（二）教学重点

直线与平面平行的判定定理。

（三）教学难点

直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定的简单应用。

（四）教学建议

空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学***面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理，进一步证明平面与平面平行的判定定理，本节重点是直线与平面平行的判定定理的应用，作用是让学生明白：“直线与平面平行的位置关系”是“空间直线平行关系”和“空间平面平行关系”的桥梁与纽带.

【新课导入设计】

导入一：创设情景、揭示课题

引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。教师板书课题：直线与平面平行的判定与性质.

6

导入二：（事例导入）

观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面的位置关系吗？，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？

图1 【课堂结构】

（一）创设情景、揭示课题

引导学生观察身边的实物，如教材第54页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。

（二）研探新知

1、观察

①当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边所在直线与门框所在平面具有什么样的位置关系？②将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？

问题本质：门扇两边平行；书的封面的对边平行

从情境抽象出图形语言

探究问题：

平面外的直线a平行平面内的直线b

③直线a,b共面吗？

④直线a与平面相交吗？

课本P55探究

学生思考后，小组共同探讨，得出以下结论

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

ab

a α

b β => a∥α

a∥b 2、例题讲解

例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。 分析：先把文字语言转化为图形语言、符号语言，要求已知、求证、证明三步骤，要证线面平行转化为线线平行EF//BD

已知:如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点. 求证:.EF//平面BCD。

证明:连接BD, 因为 AEEB,AFFB,

所以 EF//BD（三角形中位线定理）

因为 EF平面BCD,BD平面BCD, 由直线与平面平行的判定定理得

EF//平面BCD

点评：该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。

变式训练

：如图，在空间四面体ABCD中,E,F,M,N分别为各棱的中点，

变式一 ①四边形EFMN是什么四边形？（平行四边形）

②若ACBD，四边形EFMN是什么四边形？（菱形）

③若ACBD，四边形EFMN是什么四边形？（矩形）

变式二 ①直线AC与平面EFMN的位置关系是什么？为什么？（平行）

②在这图中，你能找出哪些线面平行关系？

点评

：再次强调判定定理条件的寻求

例2、如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，

求证：PD//平面MAC．

分析：证明线面平行的一般思路转化为线线平行，本题关键寻找与之平行的直线

BNCMEFAD∴PD//MO．证明：连接AC、BD交点为O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，

∵PD平面MAC，MO平面MAC，∴PD//平面MAC．

P

P

8

M

M

点评：本题利用了初中几何中证明平行的常用方法中位线

变式训练：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由．

D1

A1

B1

C1

D

C

B

A

解：如图，连接DB交AC于点O，取D1D的中点M，连接MA，MC，则截面MAC即为所求作的截面．

D1

A1

M

D

C1

B1

∵MO为△D1DB的中位线，∴D1B//MO．

∵D1B平面MAC，MO平面MAC，

∴D1B//平面MAC，则截面MAC为过AC

且与直线D1B平行的截面．

C

O

B

A

例3 如图6，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.

图6 求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.

证明：连接AC、BD、EF、FG、EG. 在△ABC中，

∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.

又EF面EFG，AC面EFG, ∴AC∥面EFG. 同理可证BD∥面EFG. 变式训练

已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α. 证明：如图,连接AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连接PQ.

图

∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心，

∴AMAN=2.∴MN∥PQ.

MPNQ又PQα，MNα,∴MN∥α. 点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化. 例4 如图,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.

图

画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线. 证明：如图,

图

10

. 所以,BC∥平面MNEF. 点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行.

【作业布置】

1、教材第62页

习题2.2 A组第3题；

2、预习：如何判定两个平面平行？

【当堂检测】

1、

直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（

）

Ａ．一条直线不相交

Ｂ．两条直线不相交

Ｃ．任意一条直线不相交

Ｄ．无数条直线不相交

2、过空间一点作与两条异面直线都平行的平面，这样的平面（ ）

A不存在 B有且只有一个或不存在 C有且只有一个 D有无数个

3、下列三个命题正确的个数为（ ）

（1）如果一条直线不在平面内，则这条直线与该面平行

（2）过直线外一点，可以作无数个面与该面平行

（3）如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任意直线平行

A 0 B 1 C 2 D 3 4、在空间四边形ABCD中，N，M分别是BC，AD的中点，则2MN与ABCD的大小系是

． 5. 空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若ACBDa，且AC与BD所成的角为90，则四边形EFGH的面积是

．

6. 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．

求证：MN//平面PAD．

P

ND

C

A

MB

12