小结教案范文

椭圆离心率

永年中学：王强

教学目标：

（1）知识目标：掌握求解椭圆离心率及其取值范围的几种方法；

（2）能力目标：培养学生分析问题与解决问题的能力；

（3）情感目标：通过独立思考，互相交流使学生主动领悟、吸引解题规律，提高学习数学的兴趣，探索新知识的能力及创新能力。

教学重难点：

重点：求椭圆离心率的方法；

难点：通过定义，结合图形，建立方程或不等式求椭圆离心率及其取值范围。

教学过程

一、课题引入

1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为 . 2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为 . 二、新课讲解

（一）求椭圆离心率的常用方法

1、易求a,c时，直线代入e易求b,c时，利用ec；

a2cbc2求解；

c2a2b2b2易求a,b时，利用e12求解. a2a2a2、列出含a,c的齐次方程，列式时常用公式ba2c2代替式子中的b，然后将等式两边同时除以a的n（一般除以a或a），从而利用e2c转化为含e的方程，解方程即a可.要注意0e1. 3、在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式、椭圆自身存在的不等关系（如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等）、判别式、极端情况等等. (二）例题解析

x2y21，求椭圆的离心率. 例1 已知椭圆方程为16822222解:由椭圆方程可知:a16,b8,所以cab8, c282 所以e. 2a162

所以椭圆的离心率为2. 2例2 已知O为坐标原点,F是椭圆x2y2C:221(ab0)的左焦点,A,B分别为abC的左,右顶点,P为C上一点,且PFx轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E,若直线BM经过OE的中点,求椭圆的离心率. 解：设点M(c,y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率kAM方程为yy0，从而直线AM的acy0ay0(xa)，令x0，得点E的纵坐标yE. acacyy同理,直线BM的斜率kBM0,从面直线BM的方程为y0(xa),令x0,acacay0OENy得到的中点的纵坐标N. ac21c1因为2yNyE,所以,即2a2cac,所以e. acaca3x2y2例3 已知椭圆221(ab0)，A,B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点,ab且ABBF,求椭圆的离心率. 解:如图所示,在ABF中,AB2a2b2

22BFa,AFac,由ABBFAF

a2b2a2(ac)2,将b2a2c2代入得a2acc20,即e2e10

解得:e15 . 251. 2因为e0,所以e变式训练1 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列,则该椭圆的离心率是 . x2y2例4 如图,椭圆221(ab0)的焦点为ab

F1,F2,点P在椭圆上,已知F1PF260O,求椭圆离心率的取值范围. 解法一:根据椭圆的定义有PF1PF22a①，

在PF1F2中，由余弦定理，得

cos60o2PF1PF2F1F22PF1PF222221, 22即PF2PF24cPF1PF2.②

2由①式平方得PF2PF22PF1PF24a.③

224b2由②③相减得到PF.④

1PF23由①④运用基本不等式得PF1PF2(又由bac,得到222PF1PF224b2),即a2. 32422c1(ac)a2,解得e.又因为e1, 3a21所以该椭圆的离心率的取值范围是[,1). 2解法二:该椭圆与y轴交于B1,B2两点,则当点P位于B1或B2处时,点P对两焦点的张角最大,所以F1B1F2F1PF260,从而OB1F230. OOc1sinOB1F2sin30o, a21又因为e1,所以该椭圆的离心率的取值范围是[,1). 2在RtOB1F2中,eM总在椭圆内部，则变式训练2 (1)已知F1,F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点椭圆离心率的取值范围是（

）

A.

(0,1)

B.(0,)

C.(0,1222)

D.(,1)

22(2)如图，已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M,N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率是（

）

A.31

B.23

C.（三）课堂小结

23

D.

22cc称为椭圆的离心率，用e表示，即e

aa1.椭圆离心率：椭圆的焦距离与长轴长的比2.求椭圆离心率的几种常用方法. (四)课后作业

x2y21.已知椭圆221(ab0)的左焦点F1(c,0),A(a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点,ab若F1到直线AB的距离为7b,则椭圆的离心率为

. 7bx2y22.椭圆221(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上,则椭cab圆的离心率是

. x2y23.已知椭圆E:221(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线abl:3x4y0交椭圆E于A,B两点,若AFBF4,点M到直线l的距离不小于椭圆E的离心率的取值范围是

. 4,则51x2y24.过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C:221(ab0)相交于A,B两点,若2abM是线段AB的中点,求椭圆C的离心率.