习题2.3优秀教案案例

高中数学教案

第8章圆锥曲线方程（第10课时）

王新敞

课

题：8．4双曲线的简单几何性质

（一）

教学目的：

1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质

2．掌握标准方程中a,b,c的几何意义

3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题

教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程

教学难点：渐近线几何意义的证明

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质

它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点

用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法

运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学

利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点

本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别

对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题

讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以xy1为渐近abx2y2线的双曲线方程则是22

ab对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度

同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律

本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线新疆奎屯市第一高级中学

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等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念

教学过程：

一、复习引入： 名

称

椭 圆

y双 曲 线

y

图

象

OxOx

平面内到两定点F1,F2的距离的和为

平面内到两定点F1,F2的距离的差的

常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭绝对值为常数（小于F1F2）的动点的

圆。即MF1MF22a

轨迹叫双曲线。即MF1MF22a

定

义

当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，

当2a﹤2c时，轨迹是双曲线

当2a=2c时，轨迹是一条线段F1F2

当2a=2c时，轨迹是两条射线

当2a﹥2c时，轨迹不存在

当2a﹤2c时，轨迹不存在

标准方

程

x2y2焦点在x轴上时：

221 aby2x2焦点在y轴上时：221 ab注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上

222x2y2焦点在x轴上时：221 aby2x2焦点在y轴上时：221

ab注：是根据项的正负来判断焦点所

在的位置

222常数 acb（符合勾股定理的结构）

cab（符合勾股定理的结构）

a,b,cab0，

ca0

的关

a最大，cb,cb,cb

系

c最大，可以ab,ab,ab

二、讲解新课：

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1．范围、对称性

x2y222由标准方程221可得xa，当xa时，y才有实数值；对于aby的任何值，x都有实数值

这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线

双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心

2．顶点

顶点：A1(a,0),A2a,0 特殊点：B1(0,b),B20,b

实轴：A1A2长为2a, a叫做半实轴长

虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长

x2y2讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程221中，令y=0ab得xa，故它与x轴有两个交点A1(a,0),A2a,0，且x轴为双曲线yQB2A1OBNMA2xx2y21的对称轴，所a2b2以A1(a,0),A2a,0与其1对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶x2y2点间的线段A1A2叫做双曲线221的实轴长，它的长是2a. abx2y222在方程221中令x=0得yb，这个方程没有实数根，说明双ab曲线和Y轴没有交点。但Y轴上的两个特殊点B1(0,b),B20,b，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用

把线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长是2b

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要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

3．渐近线

x2y2过双曲线221的两顶点A1,A2，

ab作Y轴的平行线xa，经过B1,B2

作X轴的平行线yb，四条直线围

成一个矩形

矩形的两条对角线所在

直线方程是ybxyx（0），

aab这两条直线就是双曲线的渐近线

分析：要证明直线ybxyx（0）

aabx2y2是双曲线221的渐近线，即要证明

ab随着X的增大，直线和曲线越来越靠拢

也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ｜

越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ｜ 但因｜MQ｜不好直接求得，因此又把问题

转化为求｜MN｜

最后强调，对圆锥曲线

而言，渐近线是双曲线具有的性质

|MQ||MN|bbxx2a2

aab22＝(xxa)

aabxxa22

（|MQ|x0）

4．等轴双曲线

a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线

结合图形说明：a=b时，双曲线方程变成xya(或b)，它的实轴和都2222新疆奎屯市第一高级中学

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等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为yx

它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角

5．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为ybkbxx(k0)，那么此双曲akax2y2x2y2线方程就一定是：1(k0)或写成22

ab(ka)2(kb)26．双曲线的草图

利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图

具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定y双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下F1A1OA2F2方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线

三、讲解范例：

xy21的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近例1

求双曲线x42线方程，并作出草图

分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答

x2y2解：把方程化为标准方程221

12由此可知，实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2．

顶点坐标是（－1，0），（1，0）

ca2b212225 焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)．

渐近线方程为xy0，即y2x

12x2y21共渐近线且过A(33,3)的双曲线的方程

例2

求与双曲线169分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K的值即可

x2y2解：设与221共渐近线且过A(33,3)的

43新疆奎屯市第一高级中学

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x2y2双曲线的方程为22

4311(33)2(3)2则

，从而有

164232x216y21

所求双曲线的方程为1199四、课堂练习：

1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是 x2y2(A)1164x2y2(B)1416x2(C)y212y2(D)x122答案：A 222 .过点(3,0)的直线l与双曲线4x-9y=36只有一个公共点,则直线l共有 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

答案：C x2y23 .若方程=1表示双曲线，其中a为负常数，则k的取值范围3ka4ka是(

) (A)(aaaaaaaa,-) (B)(,-) (C)(-,) (D)(-∞,)∪(-,+∞) 34433443答案：B 4 .中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是

13x213y213x213y21 (B)1

(A)813636815x25y25x25y21

(D)1

(C)36545436答案：A x2y2有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方5 .与双曲线916程是（ ）

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x2y2x2y21 (B)1

(A)1448114481x2y2x2y21 (D)(C)1

169(27/4)81答案：D 6 .一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(5，0)、焦点坐标、离心率分别是

（ ） (A)(0，5)，3，则它的共轭双曲线的23333 (B)(0，5)， (C)(0，5)， (D)(0，5)，

2255答案：A 227 .双曲线2kx-ky=1的一焦点是F(0，4)，则k等于 ( ) (A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16

答案：A 五、小结

：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴x2y2长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线221的渐ab近线是ybx，但反过来此渐近线对应的双曲线则是

ax2y2x2y21(k0)或写成22

22ab(ka)(kb)六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

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