1.2.1 充要条件PPT专用课堂实录内容

§2充分条件与必要条件

[对应学生用书P5]

古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．

设：

A：洛孝主动归还所拾银两．

B：洛孝无赖银之情．

C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子．

D：洛孝所拾银子不是失主所丢．

问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？

提示：A，充分条件．

问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？

提示：D，必要条件．

充分条件和必要条件

如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p⇒q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.

已知：p：今年在伦敦俄罗斯举行第21届足球世界杯．

q：今年是2018年．

问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？

提示：是真命题，充分条件．

问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？

提示：是真命题，必要条件．

问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？

充分条件与必要条件

充要条件

提示：充要条件，充要条件．

充要条件

(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，通常记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．

(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题．

(4)若p⇒q，但q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．

(5)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．

充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件．

[对应学生用书P6]

充分条件、必要条件的判断

[例1]

下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝ac；

(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；

(3)p：a>b，q：2a>2b；

(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．

[思路点拨]

可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．

[精解详析]

(1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±ac，则p⇒/ q；若b＝ac，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即q⇒/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．

(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p⇒/ q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q⇒p，故p是q的必要不充分条件．

(3)当a>b时，有2a>2b，即p⇒q，当2a>2b时，可得a>b，即q⇒p，故p是q的充要条件．

(4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p⇒/ q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q⇒/ p，故p是q的既不充分也不必要条

件．

法二：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．

[一点通]

充分必要条件判断的常用方法：

(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．

(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断．

(3)集合法：

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B. ①若AB，则p是q的充分不必要条件；

②若BA，则p是q的必要不充分条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件；

④若A

B且B

A，则p是q的既不充分又不必要条件．

x1．设集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x||x－2|≤1}，那么“m∈A”是“m∈B”的(

) x－3A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故选D. 答案：D 2．对任意实数a，b，c给出下列命题：

①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；

②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；

④“a<5”是“a<3”的必要条件．

其中，真命题的序号是________．

解析：①由a＝b可得ac＝bc.但ac＝bc时不一定有a＝b，故①为假命题；②由“a＋5为无理数”可得“a为无理数”，由“a为无理数”可得“a＋5为无理数”，②为真命题；③由“a>b”不能得出a2>b2，如a＝1，b＝－2，③为假命题；④“由a<5”不能得“a<3”，而

由“a<3”可得“a<5”，④为真命题．

答案：②④

3．指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；

1π(2)在△ABC中，p：sin A＞，q：A＞. 26解：(1)因为|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．

ππ(2)因为0＜A＜π时，sin A∈(0,1]，且A∈(0，]时，sin A单调递增，A∈[，π)时，sin A221ππ1单调递减，所以sin A＞⇒A＞，但A＞⇒/ sin A＞. 2662所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

充要条件的证明和求解

[例2]

已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，

求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1. [思路点拨]

本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由q＝－1推证数列{an}为等比数列和由数列{an}满足Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)为等比数列推证q＝－1. [精解详析]

(充分性)当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn1(p－an＋1pnp－1－1)，且n＝1时也成立．于是＝＝p(p≠0且p≠1)，即{an}为等比数列．

anpn－1p－1(必要性)当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn1(p－1)．

－an＋1pnp－1因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，＝＝p，可知等比数列{an}的公比为anpn－1p－1p. a2pp－1故＝＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1. a1p＋q综上可知，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．

[一点通]

充要条件的证明问题，要证明两个方面，一是充分性，二是必要性．为此必须要搞清条件，在“A是B的充要条件”中，A⇒B是充分性，B⇒A是必要性；在“A的充要条件是B”中，A⇒B是必要性，B⇒A是充分性．

4．不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是____________．

解析：若x2－ax＋1>0的解集为R，则Δ＝a2－4<0，即－2

又当a∈(－2,2)时，Δ<0，可得x2－ax＋1>0的解集为R，故不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是－2

nn＋1nn－1解析：由Sn＋1＞Sn(n∈N＋)⇔(n＋1)a＋d＞na＋d(n∈N＋)⇔dn＋a＞0(n∈N22＋)⇔d≥0且d＋a＞0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d＋a＞0. 答案：d≥0且d＋a＞0 6．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，

∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. ∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. ∴必要性成立．

再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b. 代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：

ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋b＋a)＝0. 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

充分条件、必要条件的应用

3－m3＋m[例3]

已知p：关于x的不等式＜x＜，q：x(x－3)＜0，若p是q的充分不必22要条件，求实数m的取值范围．

[思路点拨]

求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解．

3－m3＋m[精解详析]

记A＝{x|＜x＜}，B＝

22{x|x(x－3)＜0}＝{x|0＜x＜3}，

若p是q的充分不必要条件，则AB. 注意到B＝{x|0＜x＜3}≠∅，分两种情况讨论：

3－m3＋m(1)若A＝∅，即≥，解得m≤0，此时AB，符合题意；

223－m3＋m(2)若A≠∅，即＜，解得m＞0，

22

要使AB，应有3＋m＜3，解得0＜m＜3.2m＞0，3－m

＞0，2

综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．

[一点通]

将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p，q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．

7．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分不必要条件，求m的值．

解：解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，

1令A＝{2，－3}，B＝－m，

∵q是p的充分不必要条件，∴B

A. 1111当－＝2时，m＝－；当－＝－3时，m＝. m2m311所以m＝－或m＝. 238．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若x∈M是x∈N的充分条件，求a的取值范围．

解：由(x－a)2<1得

x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，

∴a－1

又由x2－5x－24<0得－3

∵x∈M是x∈N的充分条件，∴M⊆N，

a－1≥－3，∴解得－2≤a≤7. a＋1≤8，

故a的取值范围是[－2,7]．

1．充分必要条件与四种命题之间的对应关系；

(1)若p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”及它的逆否命题都是真命题；

(2)若p是q的必要条件，则逆命题及否命题为真命题；

(3)若p是q的充要条件，则四种命题均为真命题．

2．涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系．

[对应课时跟踪训练二]

1．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．

答案：A 2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是(

) A．m＝－2

C．m＝－1

B．m＝2 D．m＝1 m解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于x＝1对称⇔－＝1⇔m＝－2. 2答案：A ac3．已知命题p：“a，b，c成等差数列”，命题q：“＋＝2”，则命题p是命题qbb的(

) A．必要不充分条件

C．充要条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

ac解析：若＋＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数bbac列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出＋＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题p是命题qbb的必要不充分条件，故选A. 答案：A 4．“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当a＞3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)＜0，即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a＞3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.

答案：A 5．直线l：x－y＋m＝0与圆C：(x＋1)2＋y2＝2有公共点的充要条件是________．

|－1＋m|解析：直线l与圆C有公共点⇔≤2⇔|m－1|≤2⇔－1≤m≤3. 2答案：m∈[－1,3] 6．在下列各项中选择一项填空：

①充分不必要条件

②必要不充分条件

③充要条件

④既不充分也不必要条件

(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；

1，＋∞上为增函数”的________．

(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间2解析：(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p1，＋∞上是增＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在21函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间[，＋∞)上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)211，＋∞上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[，＝|2x－a|＝|2x|在区间22＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．

答案：(1)③

(2)①

7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)? (1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；

(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；

(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

1(4)p：△ABC中，A≠30°，q：sin A≠. 2a2＋c2－b2解：(1)△ABC中，∵b＞a＋c，∴cos B＝＜0，

2ac222∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2＜a2＋c2. ∴p⇒q，q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．

(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，

∴p⇒/ q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．

(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，所以p

是q的充要条件．

1(4)转化为△ABC中sin A＝是A＝30°的什么条件．

211∵A＝30°⇒sin A＝，但是sin A＝⇒/ A＝30°，

221∴△ABC中sin A＝是A＝30°的必要不充分条件．

2即p是q的必要不充分条件．

8．求方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．

1解：①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，不符合要求；

2②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为

－2<0，a1a>0，4－4a>0，

解得0