3.1.3 导数的几何意义教学实录与评析

3.1.3导数的几何意义—函数的切线方程

教学目标

知识与技能：掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义. 过程与方法：培养学生的数形结合、转化、分类讨论的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力．

情感态度：这是一堂应用课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心. 教学重难点：

重点：能利用导数求曲线的切线方程．

难点：利用导数求过某一点的函数的切线方程. 教法与教具：

教法：讨论法、讲授式、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用

教具：多媒体、学案

教学过程

一、复习巩固

曲线fx3x在点A2,8处的切线斜率和切线方程分别是

、

．

解：因为f'x3x2，A2,8为切点时

f'212 切线方程为：y812x2y12x16

二、典例分析

例1．平行于直线2xy40且与抛物线yx2相切于P(x0,y0)的切线方程是

. 解：设P(x0，y0)为切点，则切点的斜率为y|xx02x02．

∴x01．

1)．故切线方程为y12(x1)，即2xy10

由此得到切点P(1，评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2xb，代入yx2，得x22xb0，又因为0，得b1．

变式：抛物线yx2上动点P(x0,y0)与直线2xy40距离的最小值是

.

解：由上例可得P(x0,y0)即为切点P(1,1)，

距离的最小值是|214|535355

方法二：d|C1C2|A2B2|14|53535

5（2xy10和2xy40两平行线间距离）

变式：抛物线yx2上动点P(x0,y0)与直线2xy40距离的最小值是

. 方法三：设P(x0,x0)，则P则直线距离是2|2x0x024|5x022x045(x01)235355

例2．已知直线y2x1与曲线yx3axb在x1处相切，则b的值为_________. 解析：将x1代入y2x1可得：y3，又f'x3x2a，

a1f1ab13所以有'，解得答案：b3

b3

f13a2变式：已知直线ykx与曲线yx3xb切于点(1,3)，则b的值为_________. 解析：因为f'x3x21，则

f1b3所以有'，将(1,3)代入ykx可得：1

f1k2所以b4

例3．求过点A2,8，且与曲线fxx3相切的直线方程

解：设切点Px0,y0切线斜率为k,为则切线方程为y8kx2

,3y0x02，

k3x0y8kx20032消去k,y0可得：而x08x02x02x04 方程等价于：(x02)2(x01)0

解得：x02，x01当x02时，k12,切线方程为y812x2y12x16

当x01时，k3,切线方程为y83x2y3x2

综上所述：切线方程为y12x16或y3x2

0)且与曲线y例4．过点(2，

1相切的直线方程为

．

x分析：切点未定，从而先设再求，设切点x0,y0，切线斜率为k，

切线方程可设为yk(x2)

①

y0fx0，②kf'x0，③y0k(x02)

1．

x02解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|xx0∴切线方程为y111(x2)(x02)，则x0x02．

，即x02x0x02解得x01，则所求的切线方程为xy20．

三、课堂反馈

（★★★挑战自我）已知函数fx为__________________ 解析：设切点坐标为x0,y0，切线的斜率为k，直线方程可设为ykx

lnx，则过原点且与函数fx图像相切的直线方程x1lnx则

x2lnx0y1lnx00kx02x0lnx1lnx0y0kx020x0e 2x0x0klnx01lnx02kx02x01k 2e1x 所以切线方程为：y2e四、课堂小结

由f‘x类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只须求出曲线的导数f(x)，并代入点斜式方程即可．

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．

类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

切点未知，从而先设再求，设切点x0,y0，切线斜率为k，

三个未知量需用三个条件求解：

①

y0fx0，②kf'x0，③y0yAk(x0xA)

'求切线方程的核心要素为切点的横坐标x0，因为横坐标可“一点三代”，代入到原函数，得到切点的纵坐标fx0，代入到导函数中可得到切线的斜率f

x0k。

牢记:切点既在曲线上也在切线上!

五、课后作业

1、（2015新课标II文），已知曲线yxlnx在点1,1处的切线与曲线yax2a2x1相切，则a_______

2、已知曲线C：f(x)x33x22xa的一条切线方程为y2x，则实数a的值等于_______。

23、函数fxalnxbx上一点P2,f2处的切线方程为y3x2ln22，求

a,b的值

思考题（2014北京）已知函数fx2x3x，若过点P1,t存在3条直线与曲线3yfx相切，求t的取值范围