习题4.2教案设计

4.2.1

直线与圆的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. （二）过程与方法设直线l：ax + by + c = 0，圆C：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r，圆心(DE,)22到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当d＞r时，直线l与圆C相离；（2）当d＝r时，直线l与圆C相切；（3）当d＜r时，直线l与圆C相交；3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.（二）教学重点、难点重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.难点：用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（三）教学过程设想教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

1．初中学过的平面复习引入

几何中，直线与圆的位置关系有几类？

启发学师；让学生之间进行讨论、生由图形获交流，引导学生观察图形，导入取判断直线新课.与圆的位置生：看图，并说出自己的看关系的直观法. 认知，引入新课. 2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？三种（1）直线与圆相交，有两个公共点.概念形成

（2）直线与圆相切，只有一个公共点.（3）直线与圆相离，没有公共点. 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想.生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系. 得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类. 3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间概念深化

的位置关系呢？

4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？师：引导学生回忆初中判断使学生直线与圆的位置关系的思想过程.回忆初中的生：回忆直线与圆的位置关数学知识，系的判断过程. 培养抽象概括能力. 师：引导学生从几何的角度抽象判说明判断方法和通过直线与圆的断直线与圆方程说明判断方法.的位置关系

1

方法一：利用圆心到直线的距离d.方法二：利用直线与圆的交点个数. 生：利用图形，寻找两种方的思路与方法的数学思想. 法. 5．你能用两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？例1

如图，已知直线l

：3x + y

– 6 = 0和圆心为C的圆x2 + y2

–2y

– 4 = 0，判断直线l

与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.

师：指导学生阅读教科书上的例1.生：仔细阅读教科书上的例1，并完成教科书第140页的练习题2.例1

解法一：由直线l

与圆的方程，得①

3xy6022xy2y40②

分析：方法一：由直线l

与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成应用举例

的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.消去y，得x2

– 3x + 2 = 0，因为△= (–3)2

– 4×1×2 = 1＞0所以，直线l与圆相交，有两个公共点.解法二：圆x2 + y2

–2y

– 4 = 0可化为x2 + (y

– 1)2 =5，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为5，点C (0，1)到直线l

的距离体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系. 使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤. d =|3016|3212510＜5.所以，直线l

与圆相交，有两个公共点.由x2

–3x + 2 = 0，解得x1 =2，x2 = 1.把x1=2代入方程①，得y1= 0；把x2=1代入方程①，得y2= 0；所以，直线l

与圆有两个交6．通过学习教科书点，它们的坐标分别是的例1，你能总结一下判A (2，0)，B (1，3). 断直线与圆的位置关系生：阅读例1.的步骤吗？师：分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.例2

已知过点M

生：交流自己总结的步骤. (–3，–3)的直线l

被圆x2 + 师：展示解题步骤. y2

+ 4y

–21 = 0所截得的例2

解：将圆的方程写成标

2

弦长为45，求直线l

的方程. 准形式，得

x2 + (y2 + 2)2 =25，

所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长r =5. 如图，因为直线l

的距离为45，所以弦心距为

52(452)5，

2

即圆心到所求直线l的距离为5. 因为直线l

过点M (–3，–3)，所以可设所求直线l的方程为

y + 3 = k (x + 3)，

即k x

–

y + 3k

–3 = 0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l

的距离

d =|23k3|k212. 5，

因此，|23k3|k1即|3k

– 1| =55k2，

两边平方，并整理得到

2k2

–3k

–2 = 0，

1解得k =，或k =2. 2所以，所求直线l

有两条，它们的方程分别为

1y + 3 =(x + 3)，

2或y + 3 = 2(x + 3). 即x +2y = 0，或2x

–

y + 3 = 0.

3

师：指导学生阅读并完成教7．通过学习教科书科书上的例2，启发学生利用“数进一步上的例2，你能说明例2形结合”的数学思想解决问题. 生：阅读教科书上的例2，并深化“数形中体现出来的数学思想结合”的数完成137页的练习题. 方法吗？

师：引导并启发学生探索直学思想. 8．通过例2的学习，明确弦线与圆的相交弦的求法. 你发现了什么？

生：通过分析、抽象、归纳，长的运算方半弦、弦心距、半径法. 得出相交弦长的运算方法. 构成勾股弦关系. 巩固所学过的知师：引导学生完成练习题. 识，进一步生：互相讨论、交流，完成理解和掌握练习题. 直线与圆的位置关系. 9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4. 10．课堂小结：

教师提出下列问题让学生思考：

（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了归纳总结

什么？

（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

（3）如何求出直线与圆的相交弦长？

课外作业

布置作业：

见习题4.2

第一课时

师生共同回顾

回顾、反思、总结形成知识体系

学生独立完成

巩固所学知识

备选例题

例1

已知圆的方程x2 + y2 = 2，直线y = x + b，当b为何值时，

（1）圆与直线有两个公共点；

（2）圆与直线只有一个公共点；

（3）圆与直线没有公共点. |b|解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b的距离为d，圆的半径r2. 2（1）当d＜r，即–2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；

（2）当d = r，即b= 2时，直线与圆相切，有一个公共点；

（3）当d＞r，即b＞2或b＜–2时，直线与圆相离，

无公共点. x2y22解法2：联立两个方程得方程组.消去y2得

yxb2x2 + 2bx + b2

– 2 = 0，=16 – 4b2. （1）当＞0，即–2 ＜b＜2时，直线与圆有两个公共点；

4

（2）当＝0，即b2时，直线与圆有一个公共点；

（3）当＜0即b＞2或b＜–2时，直线与圆无公共点. 例2

直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25相交，截得弦长l为45，求m的方程. l【解析】设圆心到直线m的距离为

d，由于圆的半径r = 5，弦长的一半25，

2所以由勾股定理，得：d52(25)25，

所以设直线方程为y

– 5 = k (x

– 5) 即kx

–

y + 5 – 5k = 0. |55k|15

，得k或k = 2. 由21k2所以直线m的方程为x

– 2y + 5 = 0或2x

–

y

– 5 = 0. 例3

已知圆C：x2 + y2

– 2x + 4y

– 4 = 0. 问是否存在斜率为1的直线l，

使l被圆C截得弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点. 【解析】假设存在且设l为：y = x + m，圆C化为(x

– 1)2

– (y + 2)2 = 9，圆心C (1，–2). yxmm1m1解方程组得AB的中点N的坐标N(,)，

y2(x1)22由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN| = |ON|. 又|AN||CA|2|CN|29|ON|(m12m12)()

22(m3)，

2(3m2)(m1)m12所以9()

222解得m = 1或m = –4. 所以存在直线l，方程为x

–

y + 1 = 0和x

–

y

– 4 = 0，

并可以检验，这时l与圆是相交于两点的.

5