第四章 圆与方程（通用）优秀教案设计

4.1

圆的方程

4.1.1

圆的标准方程

数学组 时彦云

一、教材分析

圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线方程的基础之后，知道可以通过建立曲线的方程研究曲线的性质，圆的标准方程正是这一方法的延续。在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。圆的方程是研究二次曲线的开始，对后续圆锥曲线等内容的学习有着积极意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。

二、学情分析

学习本课之前，学生已经在初中阶段学习了圆的定义以及圆的性质，在高中阶段学***面上两点间的距离公式，为本节课的学习储备了必要的知识和数学思想方法.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，在学习过程中难免会出现困难，另外学生探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强. 三、教学目标

1．知识与技能

（1）会推导圆的标准方程. （2）掌握圆的标准方程的特点，会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径；并能根据题中条件求出圆的标准方程. (3)会判断点与圆的位置关系. 2．过程与方法

（1）进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；

（2）加强对待定系数法的运用；加深对数形结合思想的理解. （3）培养学生观察问题、发现问题、解决问题的能力. 3．情感态度与价值观

培养用坐标法研究几何问题的兴趣，欣赏圆的对称性，感受数学美. 四、教学重点难点

重点:

圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握．

难点：会根据不同的已知条件，利用代数法—待定系数法，几何法—数形结合求圆的标准方程．

五、教学过程分析

（一）创设情境

圆在我们的生活中无处不在，日出东方，车行天下，这些都是圆的具体表现形式．那么车轮为何设计为圆形，而不是其他的形状？

师生活动：若是方形，走起来颠簸，不舒服；圆，可以让车轮上的每一点到轴心的距离相等，才保证了轮子转起来而不颠簸.

【设计意图】从身边的实例引入，激发学生学习兴趣，为复习圆的定义做好铺垫. （二）探究新知

【问题1】在平面内，圆是如何定义的？

师生活动：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点即为圆的圆心，定长即为圆的半径. 【问题2】在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？

师生活动：当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．

【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）．

【问题3】若圆心坐标为A(a,b)，半径为r，推导圆的标准方程. 师生活动：类比直线点斜式方程的推导方法,师生共同完成圆的标准方程推导

设点M(x,y)是圆上任意一点，那么由圆的定义可知点M满足的条件是

PM||MA|r

2由两点间的距离公式可得，点M的坐标适合的条件可以表示为

xayb2r

将上式平方，得：(x-a)2+(y-b)2=r2

（1）

若点M(x,y)在圆上，由上述讨论可知，点M(x,y)的坐标适合方程（1）；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程（1），这就说明点M(x,y)与圆心A的距离为r，即点M在圆心为A半径为r的圆上.我们把方程（1）称为圆心为A(a,b)，半径为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程. 【设计意图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法,由学生自己化简得出结论便于学生理解记忆．

师生活动：引导学生总结圆的标准方程的特点

圆的标准方程的特点是：这是一个二元二次方程，由圆心坐标和半径可以直接写出圆的标准方程，同时由方程也可直接看出圆心坐标为(a,b)，半径为r.特别地，圆心为坐标原点O(0,0)，半径为r

的圆的标准方程是

x2y2r2

圆心在原点，半径为1的圆的标准方程是

x2+y2=1

（单位圆）

（三）应用新知

例1（1）假设学校花坛的边沿是标准的圆，它的圆心是(0,0)，半径是15，那么它的

标准方程是x2+y2=225

（2）圆心是(-3,4)，半径是20，那么它的标准方程是(x+3)2+(y-4)2=400

（3）圆(x+3)2+(y-2)2=5的圆心坐标是(-3,2)，半径是5

【设计意图】由简单问题入手，让学生能根据圆心坐标、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆心坐标、半径. 例2 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C在直线l:x-y+1=0上，求圆C的标准方程. 分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，由于圆心C与A，B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线l'上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线l的交点，半径长等于|CA|或|CB|. 解法一：设所求圆的方程为(xa)(yb)r．

222'(1a)2(1b)2r2a3222由题意得 (2a)(2b)r

，

解得b2 r225ab10所以所求圆的方程是(x3)(y2)25． 解法二：因为A(1,1)，B(2,2)，所以线段AB的中点D的坐标为斜率kAB2231,，直线AB的22213． 21'因此线段AB的垂直平分线l的方程是

y113x， 232y l A O D x B 即x3y30．

C x3y30圆心C的坐标是方程组的解． xy10解此方程组，得x3

，所以圆心C的坐标是3,2

y2(13)2(12)25． 圆心为C的圆的半径长rAC

所以圆心为C的圆的标准方程是(x3)(y2)25． 解法三：因为圆心C在直线上l:xy10上，所以设圆心C的坐标为(a,a1),

22因为点A,B在圆上，所以|AC||BC|,即(a1)(a11)22(a2)2(a12)2

解得

a3，则圆心C(3，2),r|AC|2(31)2(21)25

2所以圆心为C的圆的标准方程为(x3)(y2)25. 规律方法：

给定条件，求圆的标准方程时，一般有两种方法：

代数法—待定系数法，其一般步骤如下：

①根据题意，设出所求圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2；

②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；

③解方程组，求出a，b，r的值；

④将a，b，r的值代入所设的方程，即为所求圆的方程．

这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法. 几何法—利用圆的几何性质，由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程．这种方法计算相对较容易．

【设计意图】结合例2，例3的理解，学生自己归纳出求圆的标准方程的两种方法，并比较两种方法的优劣．

例3 求以点C(3,-5)为圆心，以6为半径的圆的方程，并判断点P2(3,1)，1(4,-3)，PP3(-3,-4)与这个圆的位置关系. 解：圆的方程为(x-3)+(y+5)=36. 22|PC|=1|P2C|=|PC|=3规律方法：

(4-3)2+(-3+5)2=5<6,\点PC内; 1(4,-3)在圆(3-3)2+(1+5)2=6∴点P2(3,1)在圆C上; (-3-3)2+(-4+5)2=37>6∴点P3(-3,-4)在圆C外. 平面内任意一点P(x0,y0)与圆C：(x-a)+(y-b)=r的位置关系如下：

222点P在圆上Û|PC|=rÛ(x-a)+(y-b)=r

222点P在圆外Û|PC|>rÛ(x-a)+(y-b)>r

222点P在圆内Û|PC|

222

【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出下列结论,培养学生分析问题、解决问题的能力．

（四）课堂练习

1.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3，则此圆的圆心和半径分别为(

B

) A．(-1,5),3

B．(1,-5),3

C．(－1,5)，3

D．(1，－5)，3 2.以原点为圆心，以2为半径的圆的方程为(

B

) A．x2+y2=2

C．x+y=22

B．x2+y2=4

1

D．(x-2)2+(y-2)2=4

43.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(

D

) A．(x-1)2+(y-2)2=10

B．(x-1)2+(y-2)2=100

C．(x-1)2+(y-2)2=5

D．(x-1)2+(y-2)2=25

（五）课堂小结

教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：

1．知识：（1）圆的标准方程的结构特点．

（2）点与圆的位置关系的判定．

(3) 求圆的标准方程的方法：

①待定系数法；②几何法. 2．思想：数形结合的思想．

六、布置作业

必做题：

P124

习题4.1

A组

2，3 选做题：

P124

习题4.1 B组

3 七、教学反思

本节课圆的标准方程的推导是在学生已有的知识基础上进行的，比较符合学生的认知规律，而且学生自己推导更有利于知识的理解和记忆. 例题的设置由简到难，层层递进，例3采用一题多解，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神.这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成. 不足之处是课容量大，时间所限，在课堂上没有充分展示出学生的思维过程. 八、板书设计

4.1.1 圆的标准方程

1、圆的标准方程

例

1.

例2.

例3.

(xa)2(yb)2r2

2、点与圆的位置关系

点在圆上

点在圆外

点在圆内