1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）多媒体教学设计及其点评

《等积法求体积》教学设计

唐山市第二中学数学组

张志萍

一、预设效果：本课力求在三个方面有所突破

一是：提高合作探究学习的实效性

二是：增强情感态度价值观教育的现实性 三是：多媒体运用的多样性

二、预设流程：

教学准备

揭示目标

情景导入

视频引入

设计充分

考纲要求

见证高考

授之以渔

（6）

课堂小结

小试牛刀

师生互动

模型引领

重点记忆

提升能力

自主合作

解决问题

三、教学内容分析：

“体积问题”是近几年高考文科数学考查的重点热点问题之一，题型以解答题为主。求解方法主要是直接法与等积法。

“等积法”思想简单，方法灵活多样，易于掌握，属于增分策略，所以这节课主要探究“如何”进行等积转化，培养学生规范书写的能力。

四、教学对象分析：

知识基础：具备等积转化的应用意识，主要以感性思维为主，没有上升到理性思维

情感基础：兴趣浓厚，求知欲强，意志力薄弱

能力基础：具备自主学习、合作探究、观察概括、空间想象能力

五、教学目标设计：

（一）知识与技能：

1、掌握等积转化的分类与等积转化的步骤；

2、掌握求体积的步骤。

（二）过程与方法：

1．培养学生的观察能力、抽象概括能力和空间想象能力；

2．强化类比、数形结合思想。

（三）情感态度价值观：

1.树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感；

2.树立学好数学的信心，激发提出问题和解决问题的勇气。

六、重点难点分析：

教学重点是等积转化的步骤、求体积的步骤;

教学难点是等积转化的分类,以及计算能力的培养。

七、教法学法分析

1、教法

多媒体综合教学与讲授结合、问题导学法、演示法、归纳比较法。

2、学法

自主学习法、小组讨论法。

为了更有效的突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想。采用一引导发现法为主，直观演示法，小组讨论法为辅。在教学中，精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。

八、教学过程分析

见证高考

热点问题

引入课题

(2012河北文) 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点。(Ｉ) 证明：平面BDC⊥平面BDC1

(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

（2013河北文）

如图三棱柱中ABC-A1B1C1

，CA=CB，AB=AA1，

∠

BAA1=60°。

（Ⅰ）证明：AB ⊥

A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=6，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积。

CC

1

E BB1AA1

（2014河北文）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO ⊥平面BB1C1C. （I）证明：B1C ⊥

AB （II）若AC ⊥AB1, ∠

CBB1=60o，BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高.

设计意图：结合PPT，让学生感受数学就在我们身边，感受立体几何动态美、和谐美、对称美；揭示课题在高考中的重要作用，激发学习兴趣与探究的欲望。

建立模型

问题引导

动画演示

小组讨论

归纳总结

问题一：什么样的锥体可以进行等积转化？

A p

A

B

D

D B B

C C

结论一：由三棱锥各个面都是三角形，底面与侧面可以互换的特点，可以实现等积转化；而其它锥体实现等积转化必须进行分割，分割成三棱锥再转化，所以其它锥体求体积应先考虑直接法。

问题二：如何用等积思想表示三棱锥A—BCD的体积？

引导学生得出VA-BCD= VB-ACD=VC-ABD= VD-ABC；

问题三：等积转化的目标是什么？

结论二：底面特殊，高易证易求

此种转化，各个点不变，但改变了顶点与底面的位置；而有时在等积转化的过程中，需要改变一些点才能达到求解的目的，下面继续学习

问题四：等积转化的分类？

同体转化：各个点不变，但改变了顶点与底面的位置，而体积不变，是同体转化。

异体转化：如果改变某些点，但可以找出高与面积之间的关系,从而得到体积关系,则称为异体转化。

由体积公式自然分为高与面积的转化；异体转化究竟如何转化呢？看下面两个小视频：

视频一：三棱锥A—BCDC 的体积转化方法

1——相似转化与对称转化。以A为顶点举例：

A

F N

D

B

E M C

视频解说一： 以A为顶点，平面BCD为底面举例：首先观察过A与底面BCD相交的线，尤其是特殊线。比如侧棱，与底边BC、CD、BD相交的线，甚至是高线等等；如果这些线上有其它一些特殊点，比如中点，n等分点等等，那么点A与这些特殊点之间可以进行高的相似转化与对称转化；比如A点到底面的距离是N点到底面距离的2倍，是相似转化，那么VA-BCD=2VN-BCD，等等；又如A与E关于侧棱与底面交点B对称，则A与E到底面的距离相等，是对称转化，那么VA-BCD=VE-BCD

。

相似转化结论三：

异体转化高的转化对称转化

A A 视频二：三棱锥A—BCD的体积转化方法2——平行转化。

视频解说二：

仍然以A为顶点，平面BCD为底面举例：再观察过A与底面BCD是否有平行线，尤其是与底边BD、BC、CD平行的线；如果这些线上有其它一些特殊点；那么点A与这些特殊点之间可以进行高的平行转化；比如A与E、F、M到底面的距离都相等，是平行转化,那么VA-BCD =VE-BCD=VF-BCD=VM-BCD

。

A

F M

D

B

C

相似转化结论三：高的转化异体转化对称转化 面积转化平行转化A



结论四：等积转化

相似转化异体转化高的转化对称转化

平行转化

面积转化

同体转化问题五：异体转化中等积转化的步骤是怎样的？

结论五：教师引导，共同总结

1.定顶点与底面，如以A（或B、C、D）为顶点举例；

2.首先观察过A与底面相交的线；尤其是特殊线，特殊线上有无特殊点，决定有无高的相似与对称转化；

3.其次观察与底面平行的线；尤其是特殊线，特殊线上有无特殊点，决定有无高的平行转化；

4.再观察底面的面积关系；决定有无面积转化；

5.得出体积之间的转化关系；

6.若A点没有上述转化关系，则需依次试验其它顶点。

设计意图：在这里我借助2个小视频，先让学生直观地、形象地、动态地感受等积转化的方法，其次师生共同回顾等积转化的方法，最后通过视屏展台直观体会转化的过程，体会从感性到理性、从形象到抽象的思维过程。

（究竟如何转化？咱们拭目以待。别忘了转化目标啊：底面特殊，高易证易求！！！) 解决问题

解题示范 分组实验 展示成果 归纳总结

1.如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点， AB=AA1=2,求三棱锥A1—AB1D的体积 A1

B1

C1

A B D C

环节一：解题示范

以A1为顶点,探究体积转化方法,电子白板详解,师生互动，教师引导

A1

A1

A1

B1

C1

B1

C1

B1

D1

C1

A A A B D C （图1）B D C （图2）B D C （图3）

一转：

1.定顶点A1与底面AB1D 2.首先观察过A1与底边AB1、DA、B1D相交的线（图1、2）；特殊线A1B上有特殊点B，有高的对称转化

法一：

VA1AB1（原）VBAB1D(异：对称）V1DB1ABD（同：可求）2VB1ABC（异：面积）

3. 其次观察过A1与底边AB1、DA、B1D平行的线（图3）；特殊线A1D1上有特殊点D1，有高的平行转化；

法二：

VA1AB1（原）DVD1AB1D(异:平行,2法）①V1AB1D1D(同：可求）VAB1BD（异：面积，可求）VB1ABD（同：可求）2VB1ABC（异：面积）V1A1AB1（原）DVD1AB1D(异:平行,2法）②VBAB1（异：对称）DVB1ABD（同：可求）2VB1ABC(异：面积）4.再观察底面的面积关系；其中S1ABD2SABC，有面积转化；（底面特殊，高易证易求）

二证：因为三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，所以BB1平面ABC,

三求： BB1=2，ABC是正三角形，所以SABC3, 四答：三棱锥A—AB311D的体积为3

问题六：求体积步骤？

结论六：一转二证三求四答

设计意图：借助数学实验，教师引导，把原本属于教师行为的设疑激趣还原于学生，让学生自己在实验过程中发现疑问，更容易激发学生的学习热情，促使他们主动学习。让学生在操作中体会等积转化带来的计算简单，事半功倍的神奇效果。结合电子白板，插入图形，变换字体颜色，突出重点，使内容更清晰的展示出来。

环节二：分组实验

一二组以D为顶点研究等积转化；

三四组以A为顶点研究等积转化；

五六组以B1为顶点研究等积转化；

一二组：以D为顶点，探究体积转化方法；

A1

A1

B1

D1

C1

B1

C1

A A

B D

C （图1）B D C （图2）

以D为顶点解析提示：

法一：直接法；

法二：（图1）等积法

V1DAA1B1(异：平行）VD1AA1B1（同：可求）VAB1D1A1（异：面积）法三：（图2）等积法

2VAB1C1A1

V可求）V1DAA1B1(异:面积,DABB1（同：可求）VB1ABD（异：面积）2VB1ABC三四组：以A为顶点，探究体积转化方法；

A1

B1

C1

A B D C

以A为顶点解析提示：

方法：等积法

VADA1B1(异:平行）VBDA1B1（同：可求）VA1B1BD(异：平行可求）VAB1BD

（同：可求）V1B1ABD（异：面积）2VB1ABC五六组：以B1为顶点，探究体积转化方法；

A1

B1

C1

A B D C

以B1为顶点解析提示：

法一：直接法

法二：等积法

V(异：面积）1B1AA1D(异：平行）VBAA1D（同：可求）VA1ABD环节三：展示成果

2VA1ABC通过视频展台，把学生各组研究成果投影出来，一

一点评

第一组：以D为顶点

第三组：以A为顶点

第五组：以B1为顶点

第二组：以D为顶点

第四组：以A为顶点

第六组：以B1为顶点

环节四：归纳总结

问题七：等积转化的原则？

结论七：首先同体之间转化（是否有特殊面，高是否易求），其次异体转化，再观察同体转化，否则再异体转化；原——同——异——同——异——同。

大家再一起回顾一下异体转化的步骤吧！

1.定顶点与底面，如以A（或B、C、D）为例；

2.观察过A与底面相交的线；特殊线上有无特殊点，

决定有无高的相似与对称转化；

3.观察过A与底面平行的线；特殊线上有无特殊点，

决定有无高的平行转化；

4.观察底面的面积关系；决定有无面积转化；

5.得出体积之间的转化关系；

6.若A点没有上述转化关系，则需依次试验其它顶点。

设计意图：通过题组训练，使学生的感性认识，经过抽象概括，上升为理性认识，从而达到熟练运用结论的目的，培养学生的观察能力、抽象概括能力以及数学语言表达能力。通过各种方法的比较，得出最优解法及以后解决问题的思维方式方法。打开了解题思路，使学生不走弯路，不浪费时间，真是条条大路通罗马。通过展台展示，教师的点评，使学生更加清楚自己的问题在哪，印象深刻。

小试牛刀

3. 如图，四棱锥ABCDE中，ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC平面BCDE，AB2，AD4．F是线段AB的中点，求三棱锥DEFC的体积. A F C D B E

解析提示：独立思考，通过视频展台展示学生成果

一转：

法一：V1DEFC（原）VFDEC(同）2VABEC（异：相似）

法二：V)V1DEFC（原）VBEFC（异：对称FBEC(同）2VABEC（异：相似）

法三：VD-EFC=（同体）VE-BFC

=（面积）112V E-ABC(可求)=（同体）2V A-BEC(可求) 法四：VD-EFC=（同体）VC-BEF

=（面积）112V C-ABE=（同体）2V A-BEC(可求) 二证：∵平面ABC平面BCDE，ABC是正三角形，作AOBC，则AO平面BCE;

又DCBC∴DC平面ABC，∴DCAC

三求：∴DCAD2AC223，AB2,AO=3,S1BEC2BEBC1222323, VV111BEFC（原)FBEC(同）2VABEC（异：相似）232331

四答：三棱锥BEFC的体积为1 设计意图：独立思考，教师巡堂，及时反馈，及时纠正，教师选出不同类型的解答，通过视频展台展示出来，一

一点评。

本课小结

什么样的锥体可以进行

等积转化？三棱锥

等积转化的目标是什么？

底面特殊，高易证易求

相似转化等积转化如何分类与步等积转化异体转化高的转化对称转化

骤？定顶点看转化

平行转化面积转化同体转化

等积转化的原则？

先同后异；

求体积步骤？

一转二证三求四答

设计意图：各小组讨论整理，并每组派一名同学依次回答，补充完整。教师课前拍成图片，通过电子白板，以插入图片的形式展示本课重点内容。引导学生回忆知识的形成过程，串知成网，使学生对知识发生发展的过程有更加清晰的认识，是点睛之笔。电子白板图片2个、学生回答图片2

布置作业

1.“见证高考”三道题

2.把例题改为“求A1到平面AB1D的距离”

板书设计

问题一：什么样的锥体可以进行等积转化？

结论一：由三棱锥各个面都是三角形，底面与侧面可以互换的特点，可以实现等积转化。

问题二：等积转化的目标是什么？

结论二：底面特殊，高易证易求

问题三：等积转化的分类与步骤

相似转化高的转化对称转化 结论三：异体转化B平行转化面积转化同体转化

A A

问题四：等积转化的原则

结论四：首先同体，其次异体转化；原——同——异——同——异——同。

问题五：求体积步骤？

结论五：一转二证三求四答

九、教学反思

通过信息技术的课堂整合，学生兴趣浓厚，探知欲强，使困难的问题简单化、抽象的内容具体化，知识呈现一目了然，直观形象，这点是传统教学所不可比拟的。

作为教师，如何使信息技术更好的辅助教学，使信息技术更完美的与数学课堂整合，这将是我在今后的教学中要不断探索和追求的目标。