3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀教学设计说课稿

广东仲元中学高中数学教学设计

编写人：霍子伟

编写时间：2018-5-20 课题：3.1.1直线的倾斜角与斜率

一．

教学内容分析

解析几何是借助直角坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，真正实现数形结合，是数学史上的重大突破，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。

本课题“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修二第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。本节课是在学生掌握了一次函数及三角函数的基础上进行的，为学习直线方程及直线的位置关系等提供知识基础，同时也初步向学生渗透解析几何数形结合的数学思想与方法。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，

是平面直角坐标系内以坐标法的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本节课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。

二．

学生学习情况分析

教学对象是广东仲元中学高一年级的学生。他们思维活跃，勇于挑战，数学基础相对较好。在教学中，充分利用几何画板等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。

三．

教学目标

1. 知识技能：

（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）掌握过两点的直线斜率的计算公式；

（3）掌握和运用直线倾斜角和斜率的关系，并能完成二者间的互化；

2. 过程与方法：

（1）培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力；

（2）使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。

3. 情感、态度与价值观：

（1）通过对直线倾斜角和斜率的学习，体验用代数方法刻画直线斜率的过程；

（2）通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维；

1

（3）激发学生学习数学的热情。

四．

教学重点与难点

重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

难点：掌握和运用直线倾斜角和斜率的关系，并能完成二者间的互化. 五．

教学过程设计

【目标导引】展示学习目标

【自主学习】知识梳理及课前训练

[导语] 必修二前两章我们初步接触立体几何，接下来的后两章将会学习解析几何。解析几何是借助直角坐标系，由笛卡尔、费马等数学家创立并发展而成。它是用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，真正实现数形结合，是数学史上的重大突破，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。

（一）知识梳理

勒内·笛卡尔（Rene Descartes） 皮耶·德·费马（Pierre de Fermat） [导语] 在平面中，过一定点的直线有无数条，它们的区别在于倾斜程度不同，为了描述直线的倾斜程度，我们引入直线的倾斜角的概念。

1. 直线的倾斜角

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上定义

方向之间所成点角叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0。

取值范围

0001800

[设计意图] 展示几何画板课件1、2，让学生理解直线倾斜角的定义，通过观察直线分别绕着原点以及原点外一定点旋转时，直线倾斜角的变化，集体讨论得出直线倾斜角的取值范围。

2

[学生活动] 学生通过观察几何画板课件的图形，以及集体讨论，理解确定直线直线倾斜角的定义以及直线倾斜角的取值范围。

2. 直线的斜率

（1）倾斜面的“坡度”

[问题] 直线斜率的源于倾斜面的“坡度”。请观察下面三个“前进量”同为1的倾斜面，思考倾斜面的倾斜程度与什么有关？

[设计意图]：采用发现法，通过观察三个“前进量”同为1的倾斜面，引导学生用“表示倾斜面的倾斜程度，从而引导学生发现斜率的定义及必要性。

[教师点评]日常生活中，我们常用“升高量”前进量升高量”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），

前进量=即 坡度（比）升高量=tan，

前进量

（2）直线斜率的定义

定义

倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，

00记为k，即ktan。倾斜角为90的直线斜率不存在。

00当时0，k0； 当90时，斜率不存在； 取值范围

00当090时，k0，k随的增大而增大；

00当90180时，k0，k随的增大而增大；

过两点的直线的斜率公式

经过两点P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式是1(x1,y1)，Pky1y2(x1x2).

x1x2

3

[展示课件] 通过几何画板课件3、4，展示随着倾斜角的变化，斜率的变化情况（如上）。教师引导学生思考，通过PPT展示推导经过两点的直线斜率公式，注意以下两点：（1）与P1、（2）当直线垂直于x轴，斜率公式不适用，此时x1x2,分母为P2两点坐标的顺序无关；0. [学生活动] 通过几何画板动态展示让学生研究，引导学生回答观察到的结论。

[教师点评] 通过展示几何画板课件，借助正切函数图像，引导学生充分理解直线的倾斜角与斜率的关系：当=0时，k0；当是锐角时，k0，k随的增大而增大；当是直角时，k不存在；当是钝角时，k0，k随的增大而增大。

值得注意的是，为什么倾斜角为90的直线斜率不存在？从代数语言来理解，根据斜率定义知道，x1x2，分母不为为0。从图形语言，当倾斜角从锐角增加到90时，斜率趋向00+；当倾斜角从钝角减少到900时，斜率趋向；

+、本来就不存在，是形象的描述，倾斜角为90的直线斜率既趋向于+又趋向于，因此它不存在。

[问题] 1. 是否所有的直线都有倾斜角？倾斜角的取值范围是什么？

2. 是否所有的直线都有斜率？斜率的取值范围是什么？

3. 如果已知一条直线的斜率，是否唯一确定该直线的倾斜角？

4. 如果一条直线的斜率满足k1，则该直线的倾斜角的取值范围是什么？

[预设结果] 1. 所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角的取值范围是0001800；

2. 倾斜角为90的直线不存在斜率；斜率的取值范围是R. 3. 一条直线的倾斜角及其斜率是一一对应关系。

004. 如果一条直线的斜率满足k1，则该直线的倾斜角的取值范围是090，或09001350.

4

[注意] 留2分钟时间让学生在小组内讨论、交流，让学生充分理解“斜率随倾斜角的变化而变化”这一难点。

（二）课前训练

[学生活动] 学生在课前自主探究，完成以下三道课前练习题目。

[课堂展示] 课堂上教师展示课前训练题答案，并作分析点评。

1. 填写下表, 熟记特殊角的正切值. 倾斜角

00

0 300

450

1

600

900

不存在

1200

1350

1

1500

斜率

33

3

3

33

[问题] 若一条直线的斜率为3，则该直线的倾斜角是多少？

[预设结果] 该直线的倾斜角是120. [设计意图] 让学生熟记特殊角的正切值，能由正切值求角度，使学生能熟练转换直线的倾斜角与斜率。明确直线倾斜角的范围，理解倾斜角及其斜率成一一对应关系，即任意的倾斜角存在唯一对应的斜率，同样的，任意的斜率存在唯一对应的倾斜角。

2. 如图所示，直线l1,l2,l3都经过点P(3,2)，又l1,l－1)，Q2

l分别经过点Q1 (－2，2,3(4，－2)，Q3 (3，0)，计算直线l1,l2,l3的斜率，并判断这些直线倾斜角是锐角还是钝角. 解

由于P、Q3的横坐标相等，直线l3的倾斜角为直角，斜率不存在；

设k1，k2分别表示直线l1,l2的斜率，

－1－23－2－2则k1＝＝，k2＝＝－4 －2－354－3由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；

由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；

[教师点评] 根据直线上两点坐标，求直线斜率的基本步骤：

（1）

判断x1,x2是否相等；

（2）若x1,x2相等，则斜率不存在；

（3）

若x1,x2不相等，则用斜率公式求斜率。

5 0

[设计意图] 正确理解直线的斜率公式需要注意的问题，公式中两点的纵坐标和横坐标的次序可以同时调换，明确应用斜率公式求直线斜率的基本步骤. 3. 若下图中直线l1，l2，l3，l4，的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则k1，k2，k3，k4的

大小关系是__________________. 解：四条直线对应的倾斜角的大小关系是0012900341800，

由正切函数图像可知，tan3tan40tan1tan2，

即

k3k40k1k2. [教师点评] 通过直线倾斜角的大小来比较斜率的大小，必须要结合正切函数在0180的图像。先判断倾斜角是锐角还是钝角，直线的倾斜角为锐角时斜率为正，角度越大，斜率越大；直线的倾斜角为钝角时斜率为负，角度越大，斜率也是越大。

[设计意图] 通过具体情境让学生深刻理解直线的倾斜角与斜率的关系.

【合作探究】

教师引导，学生学习小组共同探讨解决问题。

例1. 已知两点A(2,0)，B(6,4)，过点C(0,2)的直线l与线段AB有公共点. （1）

求直线l的斜率k的取值范围；

（2）

求直线l的倾斜角的取值范围. [展示课件] 展示几何画板课件4 解：如图，由题意可知，，

（1）

要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的k取值范围是k1或k1. （2）

由题意可知，直线l的倾斜角介于直线CB与CA的倾斜角之间，又因为CB的倾斜角是45，CA的倾斜角是135，所以的取值范围是45135. [设计意图] 解本题学生易由kAC1,kBC1,误以为直线的斜率取值范围为[1,1].事实上，在直线l的允许活动范围内，l的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并一定连续，当直线l垂直于x轴时，直线的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜率的变化与倾斜角变化的关系，没有联系定义域为[0,率不存在. 000000)(,)的正切函数图像，忽略直线倾斜角为时斜222

6

变式1. 已知两点A(2,4)，B(6,0)，过点E(8,2)的直线l与线段AB有公共点，

求直线l的斜率k的取值范围；

[展示课件] 展示几何画板课件5 4(2)0(2)13,kAE, 682851所以直线PE的斜率k的取值范围是

3k. 5解：如右图所示，kBE

变式2. 已知两点A(2,4)，B(6,0)，点F(x,y)是线段AB的动点，求围. [展示课件] 展示几何画板课件6 y2的取值范x4y2的几何意义可知，它表示过定点F(4,2)与

x4线段AB上任一点的直线斜率k，

解：由因为kAF422011，

，kBF644(2)3由图可知直线斜率的取值范围是k或k1. [设计意图] 求形如13yb的最值问题，常利用其几何意义，即经过定点(a,b)与动点(x,y)xa的直线的斜率，借助数形结合的数学思想，将参数最值问题转化为斜率取值范围问题，简化运算过程。

【展示评议】

用实物投影仪展示学生解题过程与结果，教师点评。

例2. 过两点A(m2,m3)，B(3mm,2m)的直线l的倾斜角为45，求m的值. 2220m22m3m22m301，

解法一：直线的斜率为k, 又因为k451，所以2m2m12m2m1由m2m32mm1，得m3m20, 即m1，或m2

当m1时，A(3,2)，B(3,2)，A,B重合，不合题意；

7 222

当m2时，A(6,1)，B(1,4)，符合条件. 所以综上所述，m2

m22m3解法二：直线的斜率为k

2m2m1m22m3(m1)(m3)又因为k451，所以1

2m2m1(m1)(2m1)0m10即由2m10，得m2. m32m1[设计意图] 1.

已知直线倾斜角求斜率，用定义法，

ktan，但要注意倾斜角的取值范围；

y1y2(x1x2).

x1x22.

已知直线上两点坐标求斜率，用公式法

k特别地，若两点坐标含参数，使用公式时要注意分母不为0. 3. 解题要注重算法算理。

【反思拓展】

课堂总结及课后作业。

（一）课堂总结

由学生分组讨论总结本节课的知识要点，预设得到以下结论：

1. 直线的倾斜角与斜率的定义、范围及两点的斜率公式，着重要理解倾斜角与斜率的变化关系。

2. 体会数形结合、分类讨论的数学思想。

3. 应用所学知识，发现及解决数学问题，培养批判性思维。

（二）课后作业

01. 经过两点A(4,2y1)，B(2,3)的直线倾斜角为60，则y（ B ）

A. 32

B. 332

C. 32

D.

3

02. 已知点A(1,2)，在x轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135，则点P的坐标为（

C

）

A.

(0,3)

B.

(0,1)

C.

(3,0)

D. (1,0)

3. 下列两点确定的直线的斜率不存在的是（

D

）

A.

(4,2),(4,1)

B.

(0,3),(3,0)

C.

(3,1),(2,1)

D.

(2,2),(2,5)

8

4. 在平面直角坐标系内，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为（

B

）

A.

23

B.

0

C.

3

D.

23

5. 直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是____[0,2]____. 6. 若直线斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为______60或120________. 7. 若经过点P(1a,1)和Q(2a,3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是______(,)________. 8. 在同一个坐标平面内，分别画出满足下列条件的直线: （1）直线l1过原点，斜率为1；

（2）直线l2过点(3,0)，斜率为（3）直线l3过点(3,0)，斜率为8. 略

9. 已知直线l经过A(2,1)，B(1,m)的两点，求直线l的倾斜角的取值范围. 200132；

322；

（4）直线l4过点(3,0)，斜率为；

33m21解：直线的斜率为k1m21，

12因为直线倾斜角的取值范围是0180

所以由正切函数图像可知，

00的取值范围是00450或4501800.

[点评] 求直线倾斜角范围的方法：

由斜率的取值范围，借助正切函数图像，通过求解三角函数不等式可找出倾斜角的取值范围。特别要考虑端点值是否符合条件。

10. 已知实数x,y满足关系式x2y6，当1x3且x2时，求解析：y1的取值范围.

x2y11的几何意义是过M(x,y),N(2,1)两点的直线的斜率.因为点M在y3x2x252323，2的图像上，且1x3，所以可设该线段为AB，其中A(1,)，B(3,).由于kNAkNB

131，所以的取值范围是(,][,).

222

9