习题4.2公开课教案

《直线和圆》教学设计

赵

双

虎

直线和圆复习课

教学目标

：

〖知识目标〗：

1.掌握直线与圆相交、相切、相离三种位置关系，并会求圆的切线方程及与弦长等有关直线与圆的问题。

2.在解决直线与圆的位置关系的问题时,常通过”数”与”形”的结合,充分利用圆心的几何性质、简化运算.如利用圆心到直线的距离讨论直线与圆的位置关系,利用过切点的半径、弦心距及半径构成的三角形去解决与弦长有关的问题. 〖能力目标〗：培养数形结合的思想、多方位多渠道解决问题能力。

学情分析

：

总体来看，成绩算是不错的。在学生所学知识的掌握程度上，整个年级已经开始出现两极分化了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差，为减轻学生的经济负担与课业负担，不提倡学生买教辅参考书，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养。在以后的教学中，对有条件的孩子应鼓励他们买课外参考书，不一定是教辅参考书，有趣的课外数学读物更好，培养学生课外主动获取知识的能力。学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，少数几个学生对数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象，课堂、家庭作业，学生完成的质量要打折扣；学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正(考试、作业后)错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本学期教学中重点予以关注的。

重点难点

：

重点：三种位置关系的判断方法、过一点的圆的切线的求法以及弦长问题的解决方法，即圆心到直线的距离在圆与直线关系问题中的运用。

难点：利用数形结合的思想分析问题、解决问题。 教学过程：

教学活动

：活动1【讲授】直线和圆

一、

课堂引入：

前面我们复习了圆的方程、点与圆的位置关系，这课我们复习用圆的方程来解决直线与圆的位置关系。请先做以下练习（教师巡堂以便了解课下预习情况）

(1)、判断直线4x-3y=5与圆x +y =25的位置关系

(2)、求圆x +y =25的过点P(3,4)的切线方程. (3)、求圆x +y =25的过点P(5,4)的切线方程. (4)、求圆x +y =25被直线4x-3y-20=0所截得的弦长。

（这一部分在引入正课后直接用多媒体投影给出，并由学生快速运算，然后提问结果）

二、知识梳理: 提出问题:直线与圆有几种位置关系,用什么方法来判断? 1 .直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. ①Δ＞0，直线和圆相交. ②Δ=0，直线和圆相切. ③Δ＜0，直线和圆相离. 方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较. ①d＜R，直线和圆相交. ②d=R，直线和圆相切. ③d＞R，直线和圆相离. 2. 直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.先判断点与圆的位置关系，再用切线的性质求方程。

1）若点p（x ，y ）在圆上，则圆x +y =r ：的切线方程为xx +y y = r ,圆(x-a) +(y-b) =r 的切线方程为（x-a）（x -a）+（y-b）（y -b）= r

2）若点p（x0，y0）在圆外：利用圆心到直线的距离等于半径将切线的斜率求出来，再写出切线的方程（斜率不存在的切线方程不要遗漏）. 3. 直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. (师生一起归纳,并由教师板书)

三、例题解析:例1.(1).设m>0，则直线

（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m(m＞0)的位置关系为

A.相切

B.相交 C.相切或相离

D.相交或相切

解析：圆心到直线的距离为d= ，圆半径为 . ∵d－r= － = （m－2 +1）= （

－1）2≥0，

∴直线与圆的位置关系是相切或相离. 答案：C (2).圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于

(进一步说明圆心到直线的距离在直线与圆的关系问题中的重要地位) 例2.已知圆满足截①.y轴所得的弦长为2;②被x轴分两段弧,其弧长之比为此3:1;③圆心到直线:x-2y=0的距离为 .求该圆的方程. 解:设圆的方程为: （x－a）2＋（y－b）2＝r 则由条件①得=r

(1) 又由②得a +1=r

(2) 又由③得

(3) 联立(1((2)(3),解方程组得a=-1,b=-1,r= 或 a=1,b=1,r= 所求圆的方程为: （x+1）2＋（y+1）2＝2或（x-1）2＋（y-1）2＝2

(这是早几年的一道高考题,在高考复习中经常作为典型例题来用,我的学生对第(2)问的把握可能会有困难,因此,这一问要结合图形来分析解决.由于学生对解含有绝对值的方程组有畏难情绪,因此,教师板书解题的整个过程,并且鼓励学生面对这类问题时积极应对,常规方法入手,运算要快而准确) 例3 已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得

(先由学生思考,提出他们的解答方案,再由老师补充:由含有一个参数的直线方程入手思考) （1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0. 得

∵m∈R，∴

2x+y－7=0，

x=3，

x+y－4=0，

y=1，

即l恒过定点A（3，1）. ∵圆心C（1，2），｜AC｜＝

＜5（半径），

∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点. （2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－

，

∴l的方程为2x－y－5=0. 思悟小结

1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.

2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化

【例4】

已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围. 解：将圆的方程配方得（x+ ）2+（y+1）2= ，圆心C的坐标为（－

，－1），半径r= ，

条件是4－3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即

＞ .化简得a2+a+9＞0.由 4－3a2＞0，a2+a+9＞0，

解之得

－

＜a＜

，a∈R.∴－

＜a＜ .故a的取值范围是（－

，

）

(确定参数的解析几何问题是学生最薄弱的环节,此题的选择一方面是巩固本节课的内容,另一方面也是对直线与圆锥曲线问题中难点的一个分散处理) 四﹑课堂小练

1.若圆（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的范围是( ) A.（4，6）

B.［4，6）

C.（4，6］

D.［4，6］

解析：数形结合法解. 答案：A 2.（2003年春季北京）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形

A.是锐角三角形

B.是直角三角形C.是钝角三角形

D.不存在

解析：由题意得 =1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三角形为直角三角形. 答案：B 3.（2005年春季北京，11）若圆x2+y2+mx－ =0与直线y=－1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为____________.

解析：圆方程配方得（x+ ）2+y2= ，圆心为（－

，0）. 由条件知－ <0，即m>0. 又圆与直线y=－1相切，则0－（－1）= ，即m2=3，∴m= . 答案：

4.（2004年福建，13）直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于____________. 解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25. 知圆心为（3，1），r=5. 由点（3，1）到直线x+2y=0的距离d= = . 可得

弦长为2 ，弦长为4 . 答案：4 5.自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程. 解：圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1. 设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l距离为圆的半径1，从而可得k1＝－

，k2＝－

．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0. 6.已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系? 分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小. 解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d= . ∵P（x0，y0）在圆内，∴ r，故直线和圆相离.

(课堂练习由多媒体投影给出,学生练完后,打出正确答案和解答过程) 五﹑课堂小结

1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定. 2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形. 3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用. 六课后作业

8.（文）求经过点A（－2，－4），且与直线l：x+3y－26=0相切于（8，6）的圆的方程. 9.已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为

，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程. 10.若直线y=x+k与曲线x= 恰有一个公共点,求k的取值范围

直线与圆的位置关系

二.例题解析一.知识梳理:

例1

例4 1.

直线和圆位置关系:

例2 圆(x-a) +(y-b) =r ,直线:Ax+By+C=0 方法一: 方法二:d=| | ①d＜R，直线和圆相交.

例3

②d=R，直线和圆相切. ③d＞R，直线和圆相离. 2.

直线和圆相切

3.

直线和圆相交小结: 二.

方法小结

七﹑板书设计