小结优秀教案

简单几何体的外接球问题

一、考点分析

球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。高考中球经常和其他空间几何体相结合出题，考查几何体的外接球的问题比较多，以选择题或填空题的形式出现。

二、学情分析

高中学习过程中,学生对于球体及其组合体问题的处理很难实现全面而系统的掌握,所以教师应注意给学生呈现浅入深出的通性通法,使他们一通百通,以不变应万变。本节课本着这一原则,根据学生的知识结构和认知过程,介绍了几种简单几何体求外接球半径的方法，比如从长方体的对角线就是的外接球的直径，直棱柱和圆柱外接球的半径公式,由此又引出特殊的侧棱垂直于底面的棱锥可以采用补成直棱柱的方法研究其外接球,还介绍了正棱锥的外接球半径公式。

三、教学目标

1、教会学生能学会用构造法解决空间几何体的外接球问题。

2、锻炼学生的空间想象能力和体会转化的数学思想方法。

3、完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。

四、教学重难点

重点：学会转化的思想方法，由空间转化到平面的问题。

难点：学会通过几何体的特征构造直角三角形解决问题。

五、教学过程

（一）知识要点复习

介绍几种简单几何体的外接球半径求法。

1、

圆柱的外接球

2h设柱体的高为h,底面圆的半径为r,则有Rr2

22、

直棱柱的外接球

1

h设柱体的高为h,底面圆的半径为r,则有Rr2

2特别地，对于长方体，它的对角线就是其外接球半径

2a2b2c2

设长方体的长、宽、高分别是a,b,c,则有R2设正方体的棱长是a,则有R3、

3a

2有一条侧棱垂直于地面的棱锥的外接球

方法：可将棱锥补成直棱柱

h设锥体的高为h,底面外接圆的半径为r,则有Rr2

24、

O2圆锥和正棱锥的外接球

OO1AO1A设椎体的高为h,底面外接圆的半径为r,则有RRh2r2

设计意图：引导学生观察几个简单几何体及其外接球的结构特征，

通过构造直角三角形提炼出这几种简单几何体的外接球半径公式。

（二）历年考点分析

表1

2011～2018年全国新课标卷I（文科数学）立体几何考点分布统计表及题目

年份

2011 文科

客观题（选择与填空）

第8题

组合体的三视图

第18题

棱锥中线线垂直与高的计算

第11题

球内圆锥体积．

2

解

答

题

分值

22

2012 文科

2013 文科

2014 文科

第7题

三视图还原求体积

第19题

棱锥中面面垂直与体积的计算

第8题

球内截面求体积．

第11题

组合体的三视图还原求体积

第19题

三棱柱中线线垂直与体积计算．

22 第15题

球中的截面性质．

第19题

以三棱柱为载体，考察线线垂直第8题

三视图还原

与面面间距离．

第6题

本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式

第18题

线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；22 逻辑推理能力运算求解能力．

17 22 2015 文科

第11题

简单几何体的三视图还原；球的表面积公式；圆柱的侧面积计算．

第7题

三视图还原及球的表面积与2016 文科

体积．

第18题

线面位置关系及几何体体积．

第11题

平面的截面问题面面平行的性质定理异面直线所成的角．

2017 文科

第6题

线面关系

第18题

考查面面垂直和求四棱锥侧面积

第16题

三棱锥外接球的体积问题

第5题

圆柱的表面积

2018 文科

第9题

三视图还原与空间几何体展第18题

考查面面垂直和求三棱锥体积

开图

第10题

线面角与长方体的体积

表2

2011～2018年全国新课标卷I（理科数学）立体几何考点分布统计表

年份

客观题（选择与填空）

解

答

题

分值

27 22 22 3

2011 理科

2012 理科

2013 理科

2014 理科

第6题

组合体的三视图

第18题

棱锥中线线垂直与二面角的计算

22 第15题

球内棱锥体积．

第19题

三棱柱中线线垂直与二面角的计第11题

球内三棱锥体积．

算

第6题

球与正方体的组合体积计算．

第18题

三棱柱中线线垂直与线面角计算．

22 第8题

组合体的三视图还原求体积．

第19题

以三棱柱为载体，证明线线垂直第12题

三棱锥的三视图还原计算

与二面角计算．

第6题

本题主要考查圆锥的性质与圆第18题

空间垂直判定与性质；异面直线17

2015 理科

锥的体积公式

所成角的计算；空间想象能力，推理论证第11题

简单几何体的三视图还原；能力．

球的表面积公式；圆柱的测面积公式．

第6题

三视图还原及球的表面积与体22 2016 理科

积．

第11题

平面的截面问题面面平行的性质定理异面直线所成的角．

第7题

三视图还原及空间几何体求表第18题

垂直问题的证明及空间向量的应22 用

2017 理科

面积

第18题

证明面面垂直关系，求二面角的22 余弦值

第16题

平面图形折叠后最大体积

第7题

三视图还原与空间几何体展开2018 理科

图

第18题

证明面面垂直关系，求线面角的22 正弦值

第12题

截面积的最值

设计意图：通过历年考点分析，让学生认识到几何体外接球的重要性，提高其学习热情和积极性。

（三）典型例解

4

例

设长方体的长、宽、高分别是 、

、

，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A.3

B.6

C.12

D.24

例2

在三棱锥S-ABC中,△ABC是直角三角形,其斜边AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,则该三棱锥的外接球的表面积为

(

) S

A. 64π B. 68π C. 72π D. 100π

A

C

B

例3.正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于2

,则它的外接球的表面积是(

) A. 16π B. 12π

C. 8π D. 4π

A

P

S

D

B

C

A

C

B

设计意图：通过例题，讲解构造直角三角形的方法具体操作以及特殊几何体外接球半径公式的应用。

（四）巩固练习

练习 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为

，顶点都在一个球面上，则该球的

表面积为 设计意图：在例1的基础上让学生熟练应用直棱柱的外接球半径公式。

练习2．在三棱锥S-ABC中,侧棱SA⊥底面ABC,AB=5,BC=8,∠B=60°,SA=2

,则该三棱锥的外接球的表面积为(

) A.

π

B.

π

C.

π

D.

π

设计意图：让学生体会有一条侧棱垂直于底面的棱锥可以补成一个直棱柱，其外接球半径公式和直棱柱的外接球半径公式相同。

（五）真题演练

【2017，全国卷II文，15】长方体的长、宽、高分别是3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 设计意图：这个题目是2016年全国II卷文科数学第15题，很简单，直接套用公式即可，通过这道简单的高考真题，可增加学生的自信及学习热情。

【2011，全国卷I理，15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为

4的球O的球面上，且AB=6,BC=

,则棱锥O-ABCD的体积为 5

设计意图：这个题目是2011年全国I卷理科数学第15题，考查棱锥的外接球问题，只要构造好直角三角形就很简单。 【2012，全国卷I理，11】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为（ ）

(A)2322 (B) (C) (D)

6632设计意图：该题是2012年全国I卷的理科第11题，有点难度，通过这道题培养学生作图和转换的思想，寻找直角三角形的方法解决问题。

（六）课堂小结

几种几何体的外接球半径（利用构造直角三角形的方法）

h1、

圆柱：设柱体的高为h,底面圆的半径为r,则有Rr2

22、直棱柱：

2h设柱体的高为h,底面圆的半径为r,则有Rr2

2特别地，对于长方体，它的对角线就是其外接球半径

2a2b2c2

设长方体的长、宽、高分别是a,b,c,则有R2设正方体的棱长是a,则有R3a

23、

有一条侧棱垂直于地面的棱锥的外接球

方法：可将棱锥补成直棱柱

h设锥体的高为h,底面外接圆的半径为r,则有Rr2

24、

圆锥和正棱锥的外接球

O2OO16 AA

O1

设椎体的高为h,底面外接圆的半径为r,则有R（七）课后练习

Rh2r2

1.（2016 全国2卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（

）

解：设正方体的棱长为 则

设正方体外接球的半径为R，则R=

球的表面积为

=12

2.（2011 全国1卷）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周

都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面较小者的高与体积较大者的高的的比值为

解：如图，设圆锥的底面圆半径为r，球的半径为R，

根据球的截面性质可知两圆锥的高过球心，PQ=2R，

体积较大圆锥的高为PO1，体积较小圆锥的高为QO1.

，则这两个圆锥中，体积

P

O

因为圆锥底面面积是这个球面面积的

所以πr2=4πR2×

,

∴r=

R,

O1

A

∴OO1=

R

∴PO1=PO+OO1=

R

, QO1=QO-OO1=

R ∴体积较小者的高与体积较大者的高比值为1：3 3.正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为

，点

、

、

、

、

都在

同一球面上，则此球的体积为

解：如图，设棱锥的底面外接圆半径为r，球的半径为R，

Q

7

SDA

4.一个六棱锥的底面是正六边形，侧棱SA垂直于底面ABCDEF,已知该六棱锥的顶点都在同一个球面上，且该六棱锥的体积为，底面周长为3，则该球的体积为

。

CO1B图3解：设棱锥的底面外接圆半径为r，球的半径为R，

设棱锥的高为h

（八）教学反思

几何体的外接球问题是高考的一个高频考点，常以选择题和填空题的形式出现。要解决好这个问题，主要确定球心的位置，再根据球截面的性质解决问题。鉴于学生对于球体及其组合体问题的处理很难实现全面而系统的掌握,本节课重点是讲授利用球截面性质以及几种简单几何体的结构特征总结出这些几何体的外接球半径公式，只是几何体的外接球的一个切入点，并不全面。

因为这节是高三复习课，所以课堂引入非常直接，优点是直奔主题、重点突出，缺点是调动学生积极性上稍弱。授课过程中我有意识地提高学生的课堂参与意识，让学生积极参与教学活动，给予他们以充分的动手、动口、动脑的时间，充分经历观察、分析、推理、综合等过程，全面地掌握本节课的重要知识内容，与此同时锻炼学生的思维。根据课后作业情况发现，对于有规律可循、可套用公式的题目，学生还是比较容易上手，所以这节课学生掌握得不错。但是后续的复习中也发现这节课弱化了方法的提炼重视公式的应用有个缺点就是8

学生难以举一反三，对于其他关于外接球的问题并不能极快地确定球心以及利用截面性质去解决问题。因此，后续应该加上微课的辅助，提高学习效果。

9