3.3.4 两条平行直线间的距离优质教案设计

第三章 直线与方程

第3.3.3节

点到直线的距离

第3.3.4节

两条平行直线间的距离

（一）三维目标

1．知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.2．过程和方法会用点到直线距离公式求解两平行线距离.3．情感和价值认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.

（二）教学重点

点到直线距离公式的推导与应用.

（三）教学难点

对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.

（四）课时：2课时

（五）教学过程：

一、问题情境

1. 某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个村庄的坐标是（15，20），它附近只有一条线路通过，其方程为3x－4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？

这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距离，如何求村庄到线路的距离呢？

2. 在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求法如下：

（1）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为m，易求m的方程为4x＋3y－120＝0．由

1

解得即m与l的交点

由两点间的距离公式，得

故要完成任务，至少需要9km长的电线．

（2）设直线l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（M（0，－），易让向量＝（，，0）．在直线l上任取一点）与向量n＝（3，－4）垂直．

设向量与向量n的夹角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量的数量积的定义易知

（3）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－20）＝0．

设垂足为Po（xo，yo），则4（xo－15）＋3（yo－20）＝0，

①

又因为点Po在l上，所以3xo－4yo－10＝0，即3xo－4yo＝10，

而3×15－4×20－10＝3×15－4×20－3xo＋4yo＝－3（xo－15）＋4（yo－20），

即3（xo－15）－4（yo－20）＝45

②

把等式①和等式②两边相加，得

25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452，

∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝，

2

3. 教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既巧妙，又简单明了．

二、建立模型

设坐标平面上（如图24-1），有点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）．

我们来寻求点到直线l距离的算法．

作直线m通过点P（x1，y1），并且与直线l垂直，设垂足为P0（x0，y0）．容易求得直线m的方程为

B（x－x1）－A（y－y1）＝0．

由此得B（x0－x1）－A（y0－y1）＝0．①

由点P0在直线l上，可知Ax0＋By0＋C＝0，

即C＝－Ax0－By0．

所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，

即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．②

把等式①和②两边平方后相加，整理可得

（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，

即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝

3

容易看出，等式左边即为点P（x1，y1）到直线l距离的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1）到直线l的距离d的计算公式：

归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如下：

（1）给出点的坐标x1和y1赋值．

（2）给A，B，C赋值．

（3）计算

注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．

（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般不用公式．

三、解释应用

［例

题］

1. 求点P（－1，2）到下列直线的距离：

l1：2x＋y＝5，

l2：3x＝2．

注意：规范解题格式．

2. 求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之间的距离．

分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离．

解：在l1上任取一点P（x1，y1），则Ax1＋By＝－C1，点P到l2的距离d＝

3. 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

解：以等腰三角形底边所在的直线为x轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立直角坐标系（如图24-2）．

4

不妨设底边｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝b，则直线AC：即bx－ay＋ab＝0；

直线BC：∴点B（a，0）．

，即bx＋ay－ab＝0，

在线段AB上任取一点D（m，0），

则－a≤m≤a．

∴d1＋d2＝［练

习］

，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

1. 求下列点到直线的距离．

（1）0（0，0），l1：3x＋4y－5＝0．

（2）A（1，0），l2：x＋y－＝0．

（3）B（1，2），l3：3x＋y＝0．

5

（4）C（－2，3），l4：y－7＝0．

2. 求两条平行直线2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之间的距离．

3. （1）求过点A（－1，2），且与原点的距离为的直线方程．

（2）若点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP的最小值．

（3）若△ABC的三顶点分别为A（7，8），B（0，4），C（2，－4），求△ABC的面积．

（4）求点P（0，1）关于直线x－2y＋1＝0的对称点的坐标．

（5）求直线2x＋11y＋16＝0关于点P（0，1）对称的直线方程．

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