3.3.4 两条平行直线间的距离教学内容概述

第三章

直线与方程

第3.3.4节

两条平行直线间的距离

通过两平行线间距离公式的探究，领会寻找两平行线间距离公式的思维过程以及推导方法，体验数形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.本节内容研究两平行线间距离公式的推导和应用，推导公式的过程渗透了化归的思想．

教学目标

1．理解两平行线间的距离的推导方法；

2．掌握平行线间的距离公式；

3．运用平行线间的距离公式解决实际问题．

核心素养

1.逻辑推理

理解两平行线间的距离的推导方法；

2.数学计算

会计算平行线间的距离．

3.数学建模

运用平行线间的距离公式解决实际问题．

1. 平行线间距离公式及其应用

2. 两平行线间的距离的推导过程．

问题情境

思考

直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？

答案

点A，B，C到直线l2的距离分别为2，2，2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．

梳理

两条平行直线间的距离

(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长．

(2)图示：

[来源:Zxxk.Com]

(3)求法：转化为点到直线的距离．[来源学科网]

|C1－C2|A2＋B2. (4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝[来源:Zxxk.Com]

活动一

两平行线间的距离

例1

(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为____________．

答案

10

46m解析

由题意，得＝，∴m＝2，

31将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，

由两平行线间的距离公式，得|－1＋6|510＝＝. 44062＋22(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________．

答案

2x－y＋1＝0 解析

设直线l的方程为2x－y＋C＝0，

由题意，得|3－C|22＋12＝|C＋1|22＋12，解得C＝1，

∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 总结

求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋|b1－b2||C1－C2|b2，且b1≠b2时，d＝2；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝2

.k＋1A＋B2但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

变式训练

(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；

解

设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

由两平行直线间的距离公式，得2＝解得C＝32或C＝－20，

故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. (2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)两点，若l1与l2的距离为5，求两直线方程．

解

由题意知，两直线的斜率都存在，

设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. 因为l1与l2的距离为5，

|C－6|5＋－22，

|－k－5|5所以2＝5，解得k＝0或. 12k＋1所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. 活动二

有关两平行线间的距离最值

例2

两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. (1)求d的取值范围；

(2)求d取最大值时，两条直线的方程．

解

(1)设经过A点和B点的直线分别为l1，l2，

l1⊥AB，显然当时，l1和l2的距离最大，

l2⊥AB

且最大值为|AB|＝－3－2＋－1－2＝310，

∴d的取值范围为(0,310]．

(2)由(1)知dmax＝310，此时k＝－3，[来源学_科_网]

两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0. 总结

两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．

变式训练

已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(

) A．3

B.3

C.答案

D |5－解析

两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，则|PQ|＝3. 2－62＋82＝33

D.22[来源学科网Z.X.X.K]