探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积教案2

阅读指导课

祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积

（共1课时）

河北滦县一中 张海茹

阅读指导课

祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积（共1课时）

河北滦县一中 张海茹 一、教学目标：

1.理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；

2.在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；

3．在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；

4.通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣. 二、教学的重点、难点

1.柱体、锥体、球体的体积公式的探究

2.学生探究能力的培养

三、教学过程

1.导入课题

我们前面已经学习过柱体、锥体、球体的体积公式，但是课本直接给出公式，并没有证明，为了让大家更好地理解公式，让同学们自己阅读了课后的探究与发现，今天我们来交流一下心得。

2.探究新知

（1）走近祖暅原理：

（2）祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个屏幕的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 祖暅提出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598-1647）提出上述结论. （学生课下阅读课本介绍祖暅，并做简单实验：取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体（图2），将她改变一下形状，这个几何体形状发生了改变，得到了另一个几何体，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等.）

(3).探究柱体的体积公式

学生小组合作研究用祖暅原理推导柱体的体积公式，并用找到的多媒体演示这一过程。

于是我们得到柱体的体积公式

V柱体Sh

其中S是柱体的底面积，h是柱体的高. （4）探究锥体的体积公式

①等底等高的棱锥与圆锥体积相同（学生小组合作探究）

图4

S

1

S

图3

1

②如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？

学生合作用纸板做几何模型，使之能拆成将这个三棱柱分割成3个三棱锥，探讨三个椎体的体积关系：

如图5，设三棱柱ABCABC的底面积（即ABC的面积）为S，高（即点A到平面ABC的距离）为h，则它的体积为Sh.沿平面ABC和平面ABC，其中三棱锥1、2的底面积相等（SAABSABB），高也相等（点C到平面ABBA的距离）；三棱锥2、3也有相等的底面积（SBBCSBCC）和相等的高（点A到平面BCCB的距1离）.因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积是Sh. 3三棱锥AABC（即三棱锥1）如果以ABC为底，那么它的底面积是S，高是h，1而它的体积是Sh.这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一. 3

2 3

师用falsh演示其分割与合成过程

生总结：对于一个任意的锥体，设它的底面积为S，高为h，那么它的体积应等于1一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积，即这个锥体的体积为V锥体=Sh

3(5)球体的体积

先来研究半球（半径为R）的体积计算.为了应用祖暅原理，我们需要找到一个能够求体积的，使它和半球高度一样，并且用任何一个水平面去截它们时，得到的截面面积都相等的几何体.（教师多媒体演示：如图6（1），设平行于大圆且与大圆的距离为l的平面截半球所得圆面的半径为r，rR2r2，于是截面面积S1πr2π(R2l2)πR2πl2.

(1)图6(2)S1可以看成是在半径为R的圆面上挖去一个半径为l的同心圆，所得圆环的面积.）

为此，我们取一个底面半径和高均为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上（图6（2））. 用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面.有上述可知：

圆环大圆半径为R，小圆半径为r，面积S2πR2πl2π(R2l2).所以，S1S2.根据祖暅原理，这两个几何体体积相等.即

112V球πR2RπR2RπR3

2334所以球的体积 V球πR3

33.课堂小结：

(1)．学生小结：利用祖暅原理，推广到柱、锥、球体的体积计算。

(2)．老师小结：在本课的数学学习中，通过实物展示、动画演示、动手实验, 分组讨论、合作探究，完成了利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积.，根据祖暅原理求几何体的体积，关键是找出一个满足条件的能够求出体积的几何体