3.3.1 两条直线的交点坐标公开课教案（教学设计）

3.3.1

两条直线的交点坐标

【教学目标】

1、通过研究两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，知道对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件．本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．

2、通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想

【教学重点】

两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系

【教学难点】对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．

【教学方法】指导合作交流，自主探究

【教学过程】

1 .两条直线的交点坐标思考：几何元素及关系 代数表示点A直线l点A在直线l上A(a,b)l:Ax+By+C=0Aa+Bb+C=0点A的坐标是方程组A1xB1yC10A2xB2yC20的解直线l1与l2的交点是A结论1：求两直线交点坐标方法-------联立方程组

2.

二元一次方程组的解与两条直线的位置关系

ì唯一解ìA1xB1yC10ÛïíA2xB2yC20í无穷多解Ûîï无解îìl1,l2相交ïíl1,l2重合ïl,l平行î12

例1：求下列两条直线的交点： yl1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.解：解方程组3x+4y－2 =02x+y+2 = 0M20l1l2x得x= －2y=2-2∴l1与l2的交点是M（- 2，2）例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.x= 2x－2y+2=0得y=2解：解方程组2x－y－2=0∴l1与l2的交点是（2，2）设经过原点的直线方程为y=k x把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为x-y=0练习1：下列各对直线是否相交，如果相交，求出交点的坐标，否则试着说明两线的位置关系：

（1）l1:x-y=0,

l2:x+3y-10=0; （2）l1:3x-y+4=0,

l2:6x-2y-1=0; （3）l1:3x+4y-5=0,

l2:6x+8y-10=0; 解:（１）x=5/2,y=5/2，两直线有交点（５／2，５／2）

（２）方程组无解，两直线无交点。l1‖l2 （３）两方程可化成同一个方程，两直线有无数个交点。l1与l2重合

当变化时,方程 3x4y2(2xy2)0表示什么图形?图形有何特点?=0时，方程为3x+4y-2=0=1时，方程为5x+5y=0=-1时，方程为x+3y-4=0yl1l3l20x上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线束（直线集合）

3.共点直线系方程：

A1x+B1y+C1+λ（

A2x+B2y+C2）=0是过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。

回顾例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0. 解：设直线方程为x-2y+2+λ(2x-y-2)=0, 因为直线过原点(0，0)，将其代入上式可得：λ=1 将λ=1

代入

x-2y+2+λ(2x-y-2)=0得：3x-3y=0 即x-y=0为所求直线方程。

练习2：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。解法一：解方程组x=3x+2y－1=0，得y= －12x－y－7=0∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3∴所求直线的斜率是3所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=02+λ∴ －

———— =3解得 λ= 1/72λ－1因此，所求直线方程为3x－y－10=0

4.能力提升：①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m 的值是

（A）0 （B）－24 （C）±6 （D）以上都不对②若直线x－y+1=0 和x－ky = 0相交，且交点在第二象限，则k的取值范围是

（A）（-∞，0） （B）（0，1]

（C）（0，1） （D）（1，＋∞）

③两直线x-y-1=0,3x+y-2=0与y轴所围成的三角形的面积为 （A）9/4 （B）9/8 （C）3/4 （D）3/8④已知不论m取何实数值，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过一-2，3）定点,则这点的坐标为（_____. ⑤当k为何值时,直线y=kx+3过直线2x-y+1=0与y= x+5的交点?K=3/2

5.过定点的讨论

已知直线方程为(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0。

求证：无论a为何实数值，直线必过定点. 证明法一：令a=0，直线方程为x-2y+5=0,

令a=1，直线方程为3x-y-13=0 ìx2y50ìx3，得íí3xy130y4îî联立

将x=3,y=4代入方程(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0 ，

左边=3(2a+1)+4(3a-2)-18a+5=0=右边。

∴

x=3,y=4满足方程，故无论a为何实数值，

直线(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0必过定点(3,4) 方法2；证明直线恒过定点，将直线写成关于a的函数式，由系数为零，得出关于x,y的值，即为定值

证明:将(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0化为:

x-2y+5+a(2x+3y-18)=0. ∵a∈R, ∴

x-2y+5=0且2x+3y-18=0 ∴方程是过两定直线x-2y+5=0, 2x+3y-18=0交点的直线方程。

故无论a为何实数值，直线(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0必过定点

6.课堂小结

（1）两直线交点的求法---联立方程组。

（2）两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。

（3）共点直线系方程及其应用

7.作业：习题3.3A组

第4，5题