1.2.1 充分条件与必要条件教学设计(第二课时)

1.2.1

充分条件与必要条件

[学习目标]

1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.

知识点

充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系. (2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q. (3)“若p，则q”为假命题时，记作“p⇏q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 思考

(1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？

(2)性质定理给出了结论成立的什么条件？

答案

(1)充分条件

(2)必要条件

题型一

充分条件、必要条件

例1

给出下列四组命题：

(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；

(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；

(4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出p是q的什么条件. 解

(1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，

∴p是q的必要不充分条件. (2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，

而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇏p. ∴p是q的充分不必要条件. (3)∵p⇒q，且q⇒p，

∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件. (4)∵p⇏q，且q⇏p，

∴p是q的既不充分也不必要条件. 反思与感悟

本例分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p. 跟踪训练1

指出下列哪些命题中p是q的充分条件？

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6. (3)在△ABC中，p：sinA>sinB，q：tanA>tanB. (4)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0. 解

(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠A>∠B⇒BC>AC，

所以p是q的充分条件. (2)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，

所以由x＋y≠8⇒x≠2或x≠6，

故p是q的充分条件. (3)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°，

则sinA>sinB，但tanA

故p⇏q，故p不是q的充分条件. (4)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，

故p是q的充分条件. 故命题(1)(2)(4)中p是q的充分条件.

题型二

充分条件、必要条件与集合的关系

例2

是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范

围；否则，说明理由. 解

由x2－x－2>0解得x>2或x<－1，

令A＝{x|x>2或x<－1}，

p由4x＋p<0，得B＝{x|x<－}，

4p当B⊆A时，即－≤－1，即p≥4，

4p此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，

4∴当p≥4时，4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件. 反思与感悟

(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；若p是q的充分不必要条件，则AB. (2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值. 跟踪训练2

已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围. 解

由(x－a)2<1得x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，

∴a－1

a－1≥－3，∴解得－2≤a≤7. a＋1≤8，

故a的取值范围是－2≤a≤7.

根据必要条件(充分条件)求参数的范围

例3

已知P＝{x|a－4

因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P. a－4<1，a<5，所以即

a＋4>3，a>－1，

所以－1

错误的根本原因是忽视了集合中的不等式的等号，实际上本题中的不等式中的等

a－4≤1，号能取到，即

a＋4≥3.

正解

因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，

a－4≤1，a≤5，所以即

a＋4≥3，a≥－1，

所以－1≤a≤5. 答案

[－1,5]

1.“－21或x<－1”的(

) A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.既不是充分条件，也不是必要条件

D.既是充分条件，也是必要条件

答案

C 解析

∵－21或x<－1，且x>1或x<－1⇏－21或x<－1”的既不充分也不必要条件. 2.“a>b”是“a>|b|”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既是充分条件，也是必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

B 解析

由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|. 3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(

) A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件也不是必要条件

D.无法判断

答案

A 解析

当a＝1时，|a|＝1成立，

但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立. ∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件. 4.“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既充分也必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

C 解析

f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，1即a＝0或<0，也就是a≤0，“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”a的既是充分也是必要条件.故选C. 5.若“x0”的充分不必要条件，求m的取值范围. 解

由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，

由已知条件，知{x|x2或x<1}. ∴m≤1.

1.充分条件、必要条件的判断方法：

(1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可. (3)利用集合间的包含关系进行判断. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.