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章末复习提升课

变化率与导数

[问题展示]

(选修1-1 P80习题3.1A组T4)已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．如果车辆启动后车轮转动第一圈需要0.8 s，求转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度．

【解】

设车轮旋转的角度为θ，时间为t，比例系数为k，依题意有θ＝kt2(k＞0)．因为车2525π辆启动后车轮转第一圈需要0.8 s，所以2π＝k·0.82，k＝π，即θ＝t2.

8825π25π（t＋Δt）2－t28825πθ′(t)＝lim

＝t，

Δt4Δt→025πθ′(3.2)＝×3.2＝20π(rad/s)，

4即车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度为20π rad/s.

车轮旋转开始后，多长时间，瞬时角速度可以达到100π rad/s. 【解】

由θ′(t)＝25πt得

425100π＝πt，所以t＝16 s，

4即车轮旋转开始后，16 s时角速度可以达到100π rad/s.

若a，b，t均为正值，且b＞a，求证：时间段[a，b]内的平均变化率小于时间段[a＋t，b＋

t]内的平均变化率．

25π【证明】

由θ＝t2知，在时间段[a，b]与[a＋t，b＋t]内的平均变化率之差K1－K2

825π225π（b－a2）[（b＋t）2－（a＋t）2]88＝－

b－ab－a25π＝－t.

4由于t＞0，所以K1－K2＜0，即K1＜K2.

即在时间段[a，b]内的平均变化率小于时间段[a＋t，b＋t]内的平均变化率．

导数的几何意义

[问题展示]

(选修1-1 P85习题3.2A组T6)已知函数y＝xln x. (1)求这个函数的导数；

(2)求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．

【解】

(1)因为y＝xln x，

所以y′＝(xln x)′

＝x′(ln x)＋(ln x)′·x

1＝1·ln x＋·x＝ln x＋1.

x(2)由导数的几何意义得函数的图象在点x＝1处的切线斜率k＝y′|x＝1＝ln 1＋1＝1.

又当x＝1时，y＝1×ln 1＝0，

即切点为(1，0)，

所以所求的切线方程为y－0＝1·(x－1)，

即x－y－1＝0.

已知曲线y＝xln x的一条切线方程为x－y＋c＝0.求切点坐标与c的值．

【解】

因为y＝xln x，

1所以y′＝1·ln x＋·x＝ln x＋1.

x设切点为(x0，x0ln x0)．

由切线方程x－y＋c＝0知，切线斜率k＝1.

所以ln x0＋1＝1，即x0＝1，x0ln x0＝0.

所以切点为(1，0)，

所以1－0＋c＝0，即c＝－1.

已知曲线C：y＝xln x与直线l：y＝x＋b(b＜0)．

(1)若曲线C上存在点M到直线l的距离的最小值为2，求b的值；

(2)在直角坐标系中，若曲线C的图形在直线l的上方，求b的取值范围．

【解】

(1)将直线l平移与C相切于点M时，M即为存在的点，设M的坐标为(x0，x0ln x0)．

由y＝xln x得y′＝ln x＋1.

所以y′|x＝x0＝ln x0＋1，

因为直线l：y＝x＋b的斜率k＝1.

所以ln x0＋1＝1，

即x0＝1，故M的坐标为(1，0)．

|1＋b|由点到直线的距离得＝2，

2所以b＝1或b＝－3，

所以b＝－3.

(2)曲线C的图形在直线l的上方，即为xln x＞x＋b在(0，＋∞)上恒成立，

即b＜xln x－x.

令f(x)＝xln x－x(x＞0)，

f′(x)＝ln x，

当f′(x)＝0时，x＝1，

当f′(x)＞0时，x＞1，

当f′(x)＜0时，0＜x＜1.

所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

所以f(x)min＝f(1)＝1×ln 1－1＝－1.

即b的取值范围为(－∞，－1)．

函数的极值、最值和零点

1[问题展示]

(选修1-1 P94例4、P97例5)已知函数f(x)＝x3－4x＋4. 3(1)求f(x)在R上的极值；

(2)求f(x)在[0，3]上的最值．

1【解】

(1)因为f(x)＝x3－4x＋4，

3所以f′(x)＝x2－4.

当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2，

当f′(x)＞0时，x＜－2或x＞2，

当f′(x)＜0时，－2＜x＜2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x f′(x)

f(x)

(－∞，－2)

＋

－2

0

极大值

(－2，2)

－

2

0

极小值

(2，＋∞)

＋

284所以f(x)极大值＝f(－2)＝，f(x)极小值＝f(2)＝－.

33(2)由(1)知，f(x)在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，

4所以f(x)min＝f(2)＝－.

3又f(0)＝4，f(3)＝1.

14所以f(x)＝x3－4x＋4在[0，3]上的最小值为－，最大值为4. 33

已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝－2处取得极大值(1)求f(x)的解析式；

4(2)若f(x)在区间[t，3]上有最小值－，求实数t的范围．

3【解】

(1)因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，

所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

284又f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值－，

33所以x＝－2和x＝2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两个根．

2b所以－＝0，①

3ac＝－4.②

3a28且a×(－2)3＋b×(－2)2＋c×(－2)＋d＝，③

34a×23＋b×22＋c×2＋d＝－，④

3上边四个式子联立解得

1a＝，b＝0，c＝－4，d＝4.

31所以f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.

3284，在x＝2处取得极小值－. 33

14(2)由(1)知f(x)＝x3－4x＋4的极小值为f(2)＝－，且f(3)＝1.

334所以要使f(x)在区间[t，3]上取得最小值－，

34所以t≤2，且f(t)≥－.

3t≤2，即134

t－4t＋4≥－.33t≤2，即

2（t－2）（t＋4）≥0.所以－4≤t≤2，

所以所求t的范围为[－4，2]．

1已知函数f(x)＝x3－4x＋m. 3(1)若f(x)有且仅有三个零点，求m的取值范围；

(2)若曲线y＝f(x)切线的斜率最小时的方程为4x＋by－4＝0，求m，b的值．

1【解】

(1)因为f(x)＝x3－4x＋m.

3所以f′(x)＝x2－4，

当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2，

当f′(x)＞0时，x＜－2或x＞2，

当f′(x)＜0时，－2＜x＜2.

所以f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，

16所以f(x)极大值＝f(－2)＝＋m.

316f(x)极小值＝f(2)＝－＋m.

3因为函数f(x)有三个零点．

3＋m＞0，所以

16－3＋m＜0.1616即－＜m＜.

331616－，时，函数f(x)有三个零点．

即当m∈331(2)由f(x)＝x3－4x＋m得

316

f′(x)＝x2－4，设切点坐标为(x0，y0)．

则切线斜率k＝f′(x0)＝x20－4≥－4.

所以当x0＝0时，切线斜率kmin＝－4.

又切线方程为4x＋by－4＝0.

4所以－＝－4，

b所以b＝1，

又切点为(0，m)．

所以4×0＋bm－4＝0，

所以m＝4.

函数与不等式

[问题展示]

(选修1-1 P99习题3.3B组T(3))利用函数的单调性，证明不等式ex＞1＋x，x≠0，并通过函数图象直观验证．

【证明】

设f(x)＝ex－1－x，

所以f′(x)＝ex－1.

当f′(x)＝0时，x＝0，

当f′(x)＞0时，x＞0，

当f′(x)＜0时，x＜0，

所以f(x)＝ex－1－x在(－∞，0)上单调递减，

在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)min＝f(x)极小值＝f(0)＝e0－1－0＝0，

又x≠0，所以ex－1－x＞0，

所以ex＞1＋x.

图象验证如图．当x≠0时，函数y＝ex的图象在直线y＝1＋x的上方，即x≠0时，ex＞1＋x.

已知不等式aex≥b＋x(x∈R)．

(1)若当a＝1时不等式恒成立，求b的最大值；

(2)若当b＝1时，原不等式恒成立，求a的取值范围．

【解】

(1)当a＝1时，

不等式aex≥b＋x即为b≤ex－x.

令f(x)＝ex－x(x∈R)

所以f′(x)＝ex－1.

当f′(x)＝0时，x＝0，

当f′(x)＞0时，x＞0，

当f′(x)＜0时，x＜0.

所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)min＝f(x)极小值＝f(0)＝e0－0＝1.

所以b≤f(x)min＝1，即b的最大值为1.

1＋x(2)当b＝1时，不等式aex≥b＋x即为a≥x.

e1＋x令g(x)＝x(x∈R)，

e1·ex－（1＋x）ex－x所以g′(x)＝＝x，

e（ex）2当g′(x)＝0时，x＝0，

当g′(x)＞0时，x＜0，

当g′(x)＜0时，x＞0.

所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，

所以g(x)max＝g(x)极大值＝g(0)＝所以a≥g(x)max＝1，

即a的取值范围为a≥1.

x＋11已知函数f(x)＝x，g(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋x，若存在实数x1，x2∈[0，1]，使得2g(x1)＜g(x2)ee成立，求实数t的取值范围．

x＋1【解】

因为f(x)＝x，

e1所以g(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋x

ex＋1－x1x2＋（1－t）x＋1＝x·x＋t·x＋x＝，

eeeex存在x1，x2∈[0，1]，使得2g(x1)＜g(x2)成立，等价于

当x∈[0，1]时，2[g(x)]min＜g(x)max，

1＋0＝1.

e0

g′(x)＝－x2＋（1＋t）x－tex＝－（x－1）（x－t）ex.

①当t≥1时，在[0，1]上g′(x)≤0，即g(x)在[0，1]上单调递减，

所以2g(1)＜g(0)．

即2×3－te＜1，

所以t＞3－e2＞1.

②当t≤0时，在[0，1]上，g′(x)≥0，g(x)在[0，1]上单调递增，

所以2g(0)＜g(1)．

即2＜3－te，所以t＜3－2e＜0.

③当0＜t＜1时，当g′(x)＜0时，0≤x＜t.

当g′(x)＞0时，t＜x≤1.

所以g(x)在[0，t)上单调递减，在(t，1]上单调递增，

所以2g(t)＜max{g(0)，g(1)}，

即2×t＋13－tet＜max1，e.

令h(t)＝2·t＋et1，h′(t)＝－2tet＜0(0＜t＜1)，

所以h(t)＝2·t＋1et在[0，1]上单调递减，

所以4e≤2·t＋1et≤2.

又3－te∈23e，e，

所以2·t＋et1＜max3－t1，e无解，

综上所述t的范围为t＜3－2e或t＞3－e2.

1．函数y＝x－ex的增区间为(

) A．(1，＋∞)

B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，1) 解析：选C.f′(x)＝1－ex，所以f′(x)>0的解为x<0，故函数的增区间为(－∞，0)．2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是(

A．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B．(－3，3) )

C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[－3，3] 解析：选D.f′(x)＝－3x2＋2ax－1.因为f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0恒成立，即Δ＝(2a)2－4×3≤0，解得－3≤a≤3. 3．若曲线f(x)＝x2(x＞0)在点(a，f(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为54，则实数a的值为________．

解析：因为f(x)＝x2(x＞0)，所以f′(x)＝2x，故曲线f(x)＝x2(x＞0)在点(a，f(a))处的切线斜率为2a(a＞0)，切线方程为y－a2＝2a(x－a)，即2ax－y－a2＝0，该切线与两坐标轴的交点坐a1a标为(0，－a2)，(，0)，所以×a2×＝54，解得a＝6.

222答案：6 4．函数f(x)＝x3－3x＋2在闭区间[－4，0]上的最大值与最小值的和为________．

解析：因为f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，

所以x1＝－1，x2＝1(舍去)；

又f(－4)＝－64＋12＋2＝－50；

f(－1)＝－1＋3＋2＝4.

f(0)＝2，所以f(x)max＝f(－1)＝4，

f(x)min＝f(－4)＝－50，

所以f(x)max＋f(x)min＝4－50＝－46.

答案：－46 5．设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在点A(1，16)处的切线方程．

解：(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.

因为f(x)在x＝3处取得极值，

所以f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.

所以f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.

(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，

f′(1)＝6－24＋18＝0，所以切线方程为y＝16. 16．设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a＞1. 3(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若当x≥0时，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．

解：(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，由a＞1知，2a＞2，当x＜2时，f′(x)＞0，

故f(x)在区间(－∞，2)上是增函数；

当2＜x＜2a时，f′(x)＜0，故f(x)在区间(2，2a)上是减函数．

当x＞2a时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(2a，＋∞)上是增函数．

综上，当a＞1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2，2a)上是减函数．

(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值．

144f(2a)＝(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a＝－a3＋4a2＋24a＝－a(a＋3)(a－6)，f(0)＝24a.

333a＞1，由假设知f（2a）＞0，

f（0）＞0，a＞1，4即－3a（a＋3）（a－6）＞0，

24a＞0，解得1＜a＜6.

故a的取值范围是(1，6)．