习题3.1优秀教学实录

高中数学《3.1.1 倾斜角与斜率》教学设计

嘉兴市秀水高级中学

董雅琴 一、

教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时。这一课时有着承前启后的关键作用，不仅联系到必修四中正切函数性质的运用，同时也对后面直线方程的学习做了一个开端。当然，这一课时更注意细节的运用，要求我们对“直线的斜率是否存在”的问题引起高度重视。

二、学生学习情况分析

本节课学生很容易在以下两个地方产生错误或困惑：

1.由正切函数的单调性得到倾斜角与斜率的变化关系，如：判断不同直线间斜率的大小关系以及正切函数本身具有的不连续性。

2. 斜率计算公式的运用，如简单的两点坐标代入问题，容易导致分子与分母颠倒。

三、教学目标

1、知识与技能

(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念。

(2)理解直线的倾斜角的唯一性。

(3)理解直线的斜率的存在性。（联系正切函数的定义域）

(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。（为点斜式方程做铺垫）

2、情感态度与价值观

1.通过直线倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，思考总结能力，以及数学语言的表达能力，数学交流与评价的能力。

2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。

四、教学重点，难点

重点：直线的倾斜角、斜率的概念、斜率公式。

难点：斜率公式的应用、斜率存在性的判断。

五、教学过程

(一)．复习旧知

正切函数的定义及定义域、正切函数的图象及单调性(给出图象，尤其指出在区间0，内的单调性)。

(二).问题情境

问题1:对于平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由哪些条件确定呢? 我们知道, 两点确定一条直线. 那么, 经过一点的直线位置能确定吗?显然，经过一个

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点可以作出无数多条直线（这里，可以适当引出直线系方程，为之后的直线的定点问题做准备）。

问题2：在直角坐标系中，过同一点的不同直线的区别在哪里？

很显然，它们的‘倾斜程度’不同。 思考：怎样描述这种“倾斜程度”的不同?（开始引入倾斜角）

(三).形成定义

定义1:直线倾斜角的概念：

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。

思考:倾斜角的取值范围是什么呢? 0°≤α＜180°。

补充练习：判断下列直线倾斜角的描述是否正确？

引入此题的目的是为了学生可以完全掌握倾斜角的概念，以便准确找到直线的倾斜角。

结论:确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α,二者缺一不可. 问题3：日常生活中，是否还有表示倾斜程度的量？

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坡度（比）升高量前进量tan

定义2:直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值叫直线的斜率。

常用k表示,ktan。

注意:根据正切函数的定义域，倾斜角是90度的直线没有斜率。

例题设计：如下题的设计目的是让学生能够通过直线的图象深入了解直线的斜率与倾斜角之间的关系，并会判断斜率的大小关系。

例1: 直线l1、l２、l３的斜率分别是k1、k２、k３，试比较斜率的大小l1l２l３OXk1k3k2

问题4:思考，当在0，变化时，斜率的变化情况如何？

结论：（1）0<90k0

（2）=90k不存在

（3）

90180k0

定义3:直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点p1(x1,y1)与p2(x2,y2),则过这两点的直线的斜率ky2y1。

x2x1y2y1还适用吗?（斜率不存x2x1思考：当直线平行表于y轴或与y轴重合时,上述公式k

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在，不适用该公式）。

(四).典例分析

例1:如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？

此题设计目的:让学生充分掌握斜率的计算公式。

例2:过点P2,3的直线与线段AB相交，若A1,2，B3,0，求直线的斜率的取值范围。 此题的设计目的：让学生体会直线的倾斜角与斜率的变化关系。

例3：已知直线l经过点A5,3,B4,y,C1,9三点，求直线的斜率以及y的值。 巩固提升：已知实数x,y满足2xy8(2x3)，求y的最大值与最小值。

x此题的设计目的：为了让学生充分掌握斜率公式的结构，以便处理类似分式的取值范围。

(五).归纳总结

1.直线的倾斜角

2.斜率的概念

3.斜率的计算公式

4. 倾斜角与斜率的关系

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