3.3.4 两条平行直线间的距离优秀课堂实录

3.3.4 两条平行直线间的距离

（一）教学目标

1．知识与技能

在理解点到直线距离公式的基础上，熟练掌握两条平行直线间距离的求法.

2．过程和方法

会用点到直线距离公式和两条平行线间的距离公式求解平台平行线间的距离问题

3．情感和价值

认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.

（二）教学重点、难点

教学重点：点到直线的距离公式在求两条平行线间的距离中的应用.

教学难点：两条平行线间的距离公式的推导、理解与应用.

（三）教学方法

学导式

教学环节

教学内容

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐复习引入

步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离. 1．点到直线距离公式

点P (x0，y0)到直线l：概念形成

Ax + By + C = 0的距离为

d|Ax0By0C|A2师生互动

用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？

设计意图

设置情境导入新课

（1）教师提出问题

通过这已知P (x0，y0)，直线l：Ax + By + 种转化，培C

= 0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？

学生自由讨论

养学生“化归”的思想方法.

B2推导过程

方案一：

设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为BA（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.

把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.

方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，

由A1x1By0C0Ax0By2C0(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.

得x1By0CA,y2Ax0CB

|

所以|PR此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法. ||x0x1||Ax0By0CA|

|PS||y0y2||Ax0By0CB2

|RS|PR2PS

A2B2|AB||Ax0By0C|由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.

所以d|Ax0By0C|A2

B2可证明，当A = 0时仍适用.

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.

例1

求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离

解：d|3(1)2|32学生分析求解，老师板书

53

通过这两道简02例2

已知点A (1，3)，B (3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积.

例2 解：设AB边上的高为h，则

单的例题，SVABC|AB|12(31)2|AB|h(13)2使学生能

22够进一步对点到直线的距离AB边上的高h就是点C到AB的应用举例

距离.

AB边所在直线方程为即x + y

– 4 = 0.

点C到x + y

– 4 = 0的距离为h

h|104|12y313x131

理解应用，能逐步体会用代数运算解决52，

几何问题12225251因此，SABC

的优越性. 2．两平行线间的距离d

已知l1：Ax + By + C1 = 0 l2：Ax + By + C2 = 0 d|C1CA222|

B教师提问：

进一能不能把两平行直线间距离转化步培养学为点到直线的距离呢？

生化归转学生交流后回答. 化的思想. 再写出推理过程

. 2证明：设P0 (x0，y0)是直概念深化

线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为

d|Ax0By0C1|A2B又Ax0 + By0 + C2 = 0 即Ax0 + By0= –C2，

∴d|C1CA222|

B例3

求两平行线

l1：2x + 3y

– 8 = 0 l2：2x + 3y

– 10 =0的距离. 解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是

d|243010|22开拓学生213321

3

在教师的引导下，学生分析思路，思维，培养学生解题能力. 应用举例

解法二：直接由公式

d|8(10)|22再由学生上台板书. 21313

32课堂练习：已知一直线被两平行线3x

+ 4y

–

7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.

小结：点到直线距离公式培养学生的推导过程，点到直线的距老师和学生共同总结——交流—归纳总结

离公式，能把求两平行线的—完善

距离转化为点到直线的距离知识网络. 公式. 课后作业

布置作业：课时训练1 独立完成

巩固深化

能力，构建归纳、概括