10.1 二元一次方程教案和学案内容

1教学目标

（1）使学生了解二元一次方程的概念；

（2）了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性，会判断一对数值是否为某二元一次方程的解；

（3）会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。

2学情分析

二元一次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位，是在学生学习了一元一次方程之后学习的又一类整式方程。由一元一次方程到二元一次方程呈现数学知识螺旋上升的过程，并且二元一次方程又是初中数学函数思想的初步，如列表法、解的不唯一性和相关性都是后续函数学习的重要手段及思想。

《二元一次方程》是苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学七年级下》第10章第1节的内容，是二元一次方程这一章节的导入课，主要介绍二元一次方程的概念，二元一次方程的解以及解的不唯一性和相关性；将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，它为进一步学习二元一次方程组以及应用起到了铺垫作用，并且是今后进一步学习数学其他内容和其他学科的必备基础。

3重点难点

教学重点：二元一次方程及其解的概念

教学难点：（1）用列表法求二元一次方程的解

（2）把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形成，其实质是解一个含有字母系数的方程，是难点。

4教学过程

4.1 第一学时

教学活动

活动1【活动】教学过程

5、教学过程

教

师

活

动

学

生

活

动

设计意图

引入

同学们在平时喜欢哪些体育活动？

（放图片）姚明在篮球赛场奋力拼抢

情景一：

根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分，在NBA篮球联赛中，姚明所在的休斯敦火箭队赛完若干场后得20分。问该队赢多少场？输多少场？

师：其中包涵的等量关系（赢得分+输得分=20（分））

师（故作聪明状）：哇，太简单了！x=5，y=10呗！

师点拨：用表格的方法列出输赢的所有可能情况。

思考：（1）你是怎样列表的? （2）填表过程中有什么发现？

教师追问：我们知道，先取一个x值，就有一个y相值相对应；反之，若先确定y，x能否确定？

情景二：

姚明在一场篮球比赛中共得35分（其中罚球得10分），问他分别投中了多少个两分球和三分球？

师：其中包涵的等量关系（两分球得分+三分球得分+10=35（分））

请你设计一张表格，列出这名球员投中的两分球和三分球的各种可能情况。

根据你所列的表格，回答下列问题：

（１）姚明最多投中了多少个三分球？

（２）姚明最多投中了多少个球？

（３）如果姚明投中了１０个球，那么他投中了几个两分球？几个三分球？

温故知新：

一元一次方程的概念

一元一次方程的一般形式: 一元一次方程解的概念。

2x+y=20，2x+3y=25是什么方程？这两个方程有哪些共同的特点？

二元一次方程的概念

二元一次方程的一般形式: 二元一次方程解的概念

解的表示方法：

记作：

师追问：（1）一个二元一次方程有多少个解？（2）在上述两个具体情境中呢？

三.尝试解决

例1:(基础题) 下列方程中,哪些是二元一次方程?不是的说明理由. (3)3pq=-8 (4) 2y2-6y=1 (5)5(x-y)+2(2x-3y)=4 (6) 7x+2=3 (拓展题)2.已知:5xm+7-2y2n-1=4是二元一次方程,mn= . 3.若mxy+9x+3yn-1=7是关于x,y的二元一次方程,则m+n= . 例2:(基础题)下面3对数值，哪些是二元一次方程2x+y=3的解？哪些是3x+4y=2的解？

(1) x=-2 (2) x=2 (3) x=0.5 y=2 y=-1 y=2 （电脑显示）(1)解:当x=-2,y=2时

左边=2×(-2)+2=2 右边=3 左边≠右边

所以

x=-2 不是方程2x+y=3的解

y=2 (2)解:当x=2,y=-1时

左边=2×2+（-1）=3 右边=3 左边=右边

所以

x=2 是方程2x+y=3的解

y=-1 师：有两个方程的公共解？

(拓展题)已知二元一次方程4x+my=25的一个解是

x=4 求m的值. y=3 （板演）解：将x=4,y=3代入4x+my=25 得

4×4+3m=25 解得

m=3 答：m的值为３

例3：(基础题)把下列二元一次方程写成用含x的代数式表示y的形式并求出该方程的非负

整数解。

（1）2x+3y=18 (2) 归纳小结

教师引导学生从回顾知识和总结方法两个方面进行课堂小结．

(1)回顾知识:二元一次方程的相关概念．

(2)总结方法: 设未知数

列方程

数学方法的多样性等。

拓展提升

如图，等腰△ABC中，AB=AC=x，BC=y，(x,y为整数)且此三角形的周长为12 (1）列出关于x、y的二元一次方程

(2）求满足题意的该方程的所有解。

学生在老师的调动下踊跃发言

(找两到三位男同学) 先独立思考，然后在教师的引导下将实际问题转化为数学问题，从而用方程解决。

设该队赢了x场,输了y场

2x+y=20 学生在老师的调动下积极思考，发现问题，寻求解决方案。

先独立思考、独做，后分组讨论：

发现：（1）x、y必须取非负整数，且有一定的范围；

（2）不止一个答案；

（3）每取一个x，就有一个y相对应。

生：可以！但是当y=1，3，5，……时，x为小数,不合题意，不予考虑。

独做：设他投中了x个两分球，y个三分球

2x+3y+10=35 即：2x+3y=25 发现：（1）不是每一个整数x都有一个整数y相对应；（2）当y取奇数时有相应x值。

根据列表回答。

在问题解决中体会方案的最优化设计。

（1）含有一个未知数；（2）未知数的次数为1；（3）方程（整式）。

ax+b=0 (a≠0)

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

先观察，独立思考，再分组讨论交流。

小组小结：二元一次方程：（1）含有两个未知数；（2）所含有未知数的项的次数都是1；（3）方程（整式）。

ax+by+c=0（a≠0、b ≠0）

能使方程左右两边相等的一对未知数的一值。称为这个二元一次方程的一个解。

一般的，一个二元一次方程有无数个解，但在实际问题中要具体考虑。

学生口答（1）（5）是

（2）（3）（4）（6）不是。

m=-6, n=1, mn=-6 m=0, n=2, m+n=2 学生板演：

根据二元一次方程解的概念

(2)、(3)是2x+y=3的解，（1）（2）是3x+4y=2的解。

有是（2）

利用等式性质，对方程进行变形，使学生理解方程的整数解。学生口答

老师演示：

(1)解:移项得:3y=18-2x 系数化一得:y= 或y= 该方程的非负整数解为

实际问题

二元一次方程

x=0 x=3 x=6 x=9 y=6 y=4 y=2 y=0 学生板演（２）

今天，我的收获是……

老师点拨，学生自主完成

解：由题意得2x+y=12 即

y=12-2x

满足题意的该方程的解为

x=4 x=5 y=4 y=2 激活课堂，引发兴趣。

体会二元一次方程在解决实际问题中的必要性，让学生有“用数学”的冲动。

适时激趣。

通过思考、探究，初步体会二元一次方程解的不唯一性和相关性

逆向思维，进一步加深对解的相关性的理解。

关注数学方法的多样性，肯定学生的思维创新，从而加深对数学本质的理解。

让学生经历、体会用方程解决实际问题的过程。体现“数学来源于生活，又服务于生活”的理念。

通过类比的方法将一元一次方程的相关概念适时的迁移到二元一次方程上来，符合学生学习的最近发展区理论。

通过观察、思考、分析两个方程的特点，使学生经历概念的归纳和概括的过程，引导学生深层次地参与到概念的形成过程中。

区别纯代数问题和实际问题，力求数学思维的完备性。

通过练习使学生巩固二元一次方程的概念，把握住概念的本质. 通过练习使学生巩固二元一次方程解的概念，把握住概念的本质. 渗透两个二元一次方程的公共解，为后续知识的学习服务。

类比一元一次方程的解法，解一个含有字母系数的方程，体现化归思想。

主要由学生进行总结和互相补充，教师只做适当的点拨，以培养学生的归纳概括能力．

在几何问题中构建方程模型，深刻体会解存在的隐含条件。

板

书

设

计

投影幕

10.1 二元一次方程

1．概念：①

②

③

例题解答

ax+by+c=0（a≠0、b ≠0）

2．解的表示法：