9.4 乘法公式教学设计及课堂实录

微专题：乘法公式在几何图形中的拓展应用

从课本出发：1. 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b)2.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

类型一：完全平方公式与图形面积

222 问题一：通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，

①如图1，用4块完全相同的长方形围成一个正方形．根据图中阴影部分的面积可表示为__________，还可表示为___________，可以得到的恒等式是___________.

②类似地，用两种不同的方法计算同一各几何体的体积，也可以得到一个恒等式，如图2是边长为 的正方体，被如图所示的分割线分成8块。用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式是____________.

应用：1.如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都为正方形，其面

积之和比其余面积（阴影部分）多2.25平方米，则主卧与客卧的周长差为（

）A．12米

B．10米

C．8米

D．6米

2.如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，若图中①②都是剪成边为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成边长分别为a、b的小长方形﹒

（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为____________________；

（2）若每块小长方形的的面积为3cm2，四个正方形的面积之和为38cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和﹒

﹒

1

3.把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．

22例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a+3ab+2b

（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．

ab+bc+ac=38，

已知a+b+c=11，（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：求a+b+c的值．

（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．

类型二：

平方差公式与图形面积

问题二：通常情况下用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式。类似地。

（1）如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b

方法①________________________________；方法②________________________________；

由此可以验证的乘法公式是___．

（2）类似地，在边长为a的正方体上割去一个边长为b（b

方法①________________________________；方法②________________________________；

由此可以得到的等式是________________________________，并证明这个等式．

222

应用：4.如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（

）

2

A. 2cm2

B. 2acm2

C. 4acm2

D. （a2-1）cm2 5．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，求

（1）正方形A，B的面积之和为

﹒

（2）三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积.

小结:本节课你学到了什么？

课后作业：

1.

有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，6张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（

）

A．6张B．7张C．8张D．9张

2.如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成了一个长方形（如图②），则这个长方形的面积为（

）

FEDA22C

MPBA. a-4b B. （a+b）（a-b） C. （a+2b）（a-b） D. （a+b）（a-2b）

3.如图，点M是AB的中点，点P在MB上。分别以AP，PB为边作正方形APCD和正方形PBEF,连接MD和ME。设AP=a，BP=b,且a+b=10,ab=20,则图中阴影部分的面积为_________________。

3

4．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放,测得的线段长度如图所示，若把图②中未被小正方形覆盖部分（图②中的阴影部分）折成一个无盖的长方体盒子. （1）用含有a，b的代数式表示该长方体盒子的体积，并化简. （2）若a=12，b=2，求此长方体盒子的体积.

5. 小红家有一块L形的菜地，要把L形的菜地按如图所示分成两块面积相等的梯形，种上不同的蔬菜.这两个梯形的上底都是a m，下底都是b m，高都是(b－a) m．

(1)求小红家这块L形菜地的面积.（用含a、b的代数式表示）

(2)若a2+b2=25,ab=12,求小红家这块L形菜地的面积.

6.我们知道:有些代数恒等式可以利用平面图形的面积来表示，如：

，就可以用如图所示的面积关系来说明。

(1)请根据如图写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算：

；

(2)若

，

，求

的值；

(3)现有如图中的彩色卡片:A型、B型、C型，把这些卡片不重叠不留缝隙地贴在棱长为

的100个立方体表面进行装饰，A型、B型、C型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张，共需多少费用?

4

7.（阅读理解）

“若

满足

，求

的值”

解：设

，则

，

所以

（解决问题）

（1）若

满足

，求

的值. （2）若

满足

，求

的值. （3）如图，正方形 的边长为

，

，长方形 的面积是500，四边形 和 都是正方形， 是长方形，求图中阴影部分的面积。

8．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图22形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a+3ab+2b．

（1）图③可以解释为等式：

．

22（2）图④中阴影部分的面积为

．观察图④请你写出（a+b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是

．

（3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形；

①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b的代数式表示）

②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系．

5

9．如图是一个长为 、宽为

的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图). (1)如图中的阴影部分面积为:

；(用

、

的代数式表示) (2)观察如图，请你写出

、

、 之间的等量关系是

；

(3)根据(2)中的结论，若

，

，则

；

(4)实际上通过计算图形的阴影可以探求相应的等式，如图，请你写出这个等式

；

(5)如图，线段

(其中

为正数)，点

线在段 上，在线段 同侧作正方形 及正方形 ，连接 ， ， 得到 .当

时， 的面积记为

；当

时， 的面积记为

；当

时， 的面积记为

；当

时， 的面积记为

，则

.

10.借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．

初步应用 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则______（用图中字母表示）

②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：______（用图中字母表示）

2深入探究 （2）仿照图2，构造图形并计算（a+b+c）

2拓展延伸 借助以上探究经验，解决下列问题：（3）①代数式（a1+a2+a2+a3+a4+a5）展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___项；

②若正数x、y、z和正数m、n、p，满足x+m=y+n=z+p=t，请通过构造图形比较px+my+nz与t的大小（画出图形，并说明理由）；

222222222③已知x、y、z满足x+y+z=2m，x+y+z=2n，xyz=p，求xy+yz+xz的值（用含m、n、P2的式子表示）

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