10.2 分式的基本性质教学评价实录

基于建构“自主课堂”的初中数学教学设计

苏科版初中数学七年级（上册）

课题：线段、射线、直线（1）

【教材分析】

本节是第六章平面图形的认识（一）的第一节，学生在小学已学过相关的一部分内容。通过创设与学生生活环境、知识背景密切相关的情景，让学生在现实情境中理解线段、射线、直线是简单的平面图形，也是组成其他平面图形的基本元素。通过学生的观察、思考以及动手操作，让学生感受线段、射线、直线的不同特征，讨论总结这三个概念在端点延伸性、度量及表示方法等方面的异同。这样通过概念产生过程的教学、学生经历了从具体到抽象、从感性到理性的循序渐进的认识过程，把单纯的概念的记忆教学转变为让学生主动参与、积极探索基础上的理解教学。

【目标预设】

1.

知识与技能目标

理解线段、射线、直线等平面图形，并会用符号表示线段、射线、直线。

2.过程与方法目标

借助于具体情境和动手操作探索，掌握基本事实：两点之间线段最短、两点确定一条直线。

3.情感、态度与价值观目标

在探索过程中，培养学生善于观察、勇于探索和勤于思考的精神；在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得成功的体验。使学生意识到数学与生活的密切关系，并渗透一些数学思想。

【教学重点】

理解“两点之间的所有连线中，线段最短”、“两点确定一条直线”。

【教学难点】

“两点之间的所有连线中，线段最短”、“两点确定一条直线”。等空间观念的建立。

【教具准备】多媒体课件及相应的演示用具；

【设计理念】数学课程的教学活动设计结构，决定数学教学的活动结构，没有一种模式能一成不变放之四海皆准的，具体需要整合教师、学生、教材、环境四

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个结构要素，实现学生学习方式、教材呈现方式、教师教学方式与师生互动方式的同步推进。本节课设计上采用“创设情境——问题解决——释疑、建立概念——应用与拓展——总结反思提升”的模式，实施师生互动的开放式教学，让学生主动参与活动、参与数学概念数学思维的形成过程。学“生活中的数学”，

关注学生的学习兴趣的激发和经验的积累，引导和培养学生在活动中形成对几何图形的感知和直觉思维的能力。

【教学过程】

一、情境创设，引入新知：

师：自从第一次龟兔赛跑之后，小兔子一直想再找个机会和小乌龟重新比试比试，机会终于来了，它在路口遇到了小乌龟，提出了再比一次的请求，并一口气说出了比赛的方式与方法：（课件出示下图）还是从这儿到那棵大树，不过，这次是谁走的路近就是谁赢.小兔子先选择路线. ①

②

③ 师：同学们说说小兔子是选择了哪条路线？为什么？

生：第二条路线，因为在这三条路线中第二条最近. 师：没错.在这三条路线中第二条是比较近.聪明的小兔子和大家的想法是一样的.可是，结果呢？还是小乌龟获胜了，你们知道是怎么回事吗？小乌龟是怎么走的呢？

生：小乌龟是沿着直线走的，小乌龟走的是两点之间的线段. 师：对，小乌龟走的是两点之间的线段.（出示线段）

①

②

③

师：小兔子还想耍赖，想重走一次，你们认为小兔子能比小乌龟走的更近吗？为什么？

生：恐怕是不可能的，因为这两点之间，好象就是线段最短. 生：两点之间，线段最短.

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师：是的，在两点之间的所有连线中，线段最短.（出示）

这两点之间的这条线段的长度，叫做这两点之间的距离.（出示）

师：小兔子这次是输在哪儿了？

生：缺乏数学知识. 【设计意图】故事导入，学生兴趣盎然，激起的不仅仅是学生学习的兴趣，更重要的是诱发了学生探索、获取知识的欲望，轻松生成新知，并获取知识.同时在潜意识里使学生意识到拥有数学知识的重要性、体会数学的价值。 二、探索活动，启迪思维：

师：说到“线段”，（板书：线段）就自然而然的要想到另外两种在小学学过的，与“线段”密切相关的“线”，它们都是哪些线呢？ 生：射线、直线. 师：（板书：射线、直线）现在大家想一想，你们都还记得、还知道“线段、射线、直线”的哪些知识？先在组内说说，再推一位代表发言. （学生在组内互相交流.）

生：线段、射线、直线都是直的. 生：线段有两个端点，射线只有一个端点，直线没有端点. 生：线段有限长，射线、直线都是无限长的. 生：我还会画线段、射线、直线. 师：那请你到黑板上来分别画一条线段、射线、直线，好吗？其他同学在自己的练习本上画.师：你能把你画的方法说给大家听听吗？

生：线段要先画两个端点，再连结两个端点. 射线是先画一个端点，再由这个端点画出一条射线. 直线没有端点，只要用直尺画出一条直直的线就可以了. 师：谁能说说我们生活中遇到的哪些线可以看作是线段、射线或直线呢？

（学生举例）

师：以一点为端点，可以画多少条射线？

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（老师在黑板上点上一点“O”）

生：无数条. 师：（在黑板上用三角板作“无数条”的演示，并范画三条）

O 师：经过一点（在黑板上画上点“A”）可以画一条直线吗？谁到黑板上来画试试. （一生演示，其余学生在练习本上画.）

师：你可以多画几条吗？你能画多少条就画多少条. （有学生说：可以画无数条直线.）

师：经过一点可以画无数条直线. （不同角度的摆放直尺，示意“无数条”）

师：经过两点可以画多少条直线呢？试一试. （学生在练习本上画）

师：你有什么发现或者是能得到什么结论？你能用一句话来概括吗？

生：经过两点只能画一条直线. 师：是的，数学家就是这样观察、发现的，你们也发现了一条真理：

经过两点有一条直线，并且只有一条直线（出示）

师：这就是我们平时所说的“两点确定一条直线”

练习：

1、出示生活中实物或图片，让学生说说是应用了我们所学的什么知识？

（在墙上钉长排衣勾至少要钉几根钉子、木工墨斗打线、建造过山隧道、优秀运动员百米跑小技巧）

2、你还能举出这样的例子吗？

【设计意图】由故事引出“线段”，再由“线段”引出“射线”、“直线”，设计合理而又别具一格.由学生的已有知识出发，激起学生表现、探索、求知的积极性，充分体现了学生的主体地位。我们知道：

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对教学影响最大的就是学生已有的知识. 教师不必去讲学生已有的、已经掌握的知识，需要的只是引导、辅助，让学生由旧知生成新知，水到渠成.一句“数学家”称谓，不仅仅是对学生的肯定与激励，更会成为学生探索、求知道路上的不竭动力.通过生活实物、图片展示与举例，进一步体现了“数学来源于生活又应用于生活”的理念.体现了“学有用的数学”的思想，增强“用数学”的意识.

三、尝试自学，再探新知. 师：同学们在小学阶段学的真不少，很扎实.并且能依据已有知识探索出更多、更新的知识来，数学家也不过如此.现在请同学们看看课本148-149页的内容，有没有我们刚才没讲到、没学到的.有没有存在疑问的地方，找出来在小组里先说说. （学生看书、交流、讨论）

师：书上讲了哪些我们刚才没说到的知识？

生1：数线段. 生2：线段、射线、直线的记作方法. 师：好.我们一个一个来研究.大家可以再看看书，想一想：怎样用符号表示我们黑板上的线段、射线、直线呢？

在小组里说一说. （学生再看书、思考、讨论）

师：谁到前面来用符号表示这条线段？

生：把线段的两个端点加重，又用A、B表示两个端点，又在上面写上a. 师：我们可以用两个大写字母表示线段的两个端点，就可以把这条线段记作线段AB，或线段BA；也可以用一个小写字母a表示，记作线段a.（画线部分板书在线段图后面）

师：怎样用符号来表示老师刚才画的这些射线呢？

生：（到黑板前，在三条射线上分别点上三点：A、B、C）

师：大家同意吗？那么这三条射线分别记作什么呢？生：射线OA，射线OB，射线OC. 师：为什么要加上“射线”这两个字呢？

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生：因为O是端点，A也是一点，要不说射线的话，OA也可以是线段，还有可能是直线，所以一定要注明“射线”这两个字.另外两条也是一样的. 师：他说的有没有道理？

师：所以我们在用符号表示线段、射线，还有直线的时候一定要注明线的名称.

A·

B·

O· ·C 师：老师有一个问题想向同学们请教一下：射线OA、OB、OC可以表示为射线AO、BO、CO吗？为什么？小组商量商量.（学生小组讨论）

师：哪位同学来作代表回答我刚才的问题？

生：不行.因为点O是端点，而A、B、C只是射线上的任意一点，必须把表示端点的字母放在前面，另一个字母写在后面. 师：说的真好！其他各组同意吗？（全部“同意”了）

师：在用符号表示射线时一定要把表示端点的字母写在前面，另一个字母写在后面. 师：下面的这条射线怎样用符号来表示呢？（课件出示）

· · · · O A B C 生：射线OA，射线OB，射线OC，都可以的. 生：射线OC最好，这样就把A、B都包括了. 师：大家都同意吗？你们是什么意见啊？

（得到：射线OA，射线OB，射线OC，都可以的.）

师：能不能说成射线AB或射线BC、AC呢？

（学生有的说“能”，有的说“不能”，在组内辩论.慢慢的都认为“不能”.）

师：现在大家都认为不能，谁来说说你的理由呢？生：（跑到前面，指着射线.）射线OA,端点是O,要说射线AB的话，端点就是A了.一定要端点.

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师：是啊，我们在表示射线时，一定要用射线的端点和射线上的一点来表示. 师：直线怎么表示？谁来用符号表示黑板上的直线？

（一生在直线上点上A、B两点，并注明：直线AB或直线BA）

师：真不错！写的非常好！直线还可以用小写字母来表示：直线l.（板书）

师：同学们会用字母符号来表示线段、射线、直线了吗？

谁来小结一下用符号表示线段、射线、直线时，要怎么做？要注意什么？

（先在小组里说一说，然后指名小结）

【设计理念】例题的两个问题强化分式基本性质的两种变形；同乘以与同除以，尤其是通过练习突出了“不为零”的条件，它们均分别为通分与约分的变形埋下了伏笔。

一试身手，巩固新知.

练习1：（课件出示）你可以找出图中哪些线段、射线和直线？

· · · A B C

练习2：课本P149页“练一练”第1-3题. （学生独立练习——学生小组交流——教师重点讲评）

四、观察思考，拓展新知.

（课件出示）

点B、C在线段AD上

· · · · A B C D

师：以A为端点的线段有哪几条？以B为端点的线段有哪几条？以C为端点呢？以D为端点呢？

生：以A为端点的线段有3条：线段AB、线段AC、线段AD. ……

师：那么，图中一共有多少条线段？

生1：6条. 生2：12条.

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生3：……

师：你先说说，你是怎样数出6条的？

生1：（陈述自己的数法）

师：怎样才不会数漏、数重复呢？

生：（略）

师：（演示）从A点数有3条，从B点数有2条，从C点数有1条，从D点数没有.一共有3+2+1=6条. 师：刚才那位同学说有12条，3×4=12条，也很有道理啊，为什么不对呢？ 生4：这里所有的线段都重复了一次，比如：线段AB和线段BA表示的就是同一条线段. 生5：再除以2就对了，是6条. 师：只要两个端点相同，表示的就是相同的线段.换句话说，在线段的两个端点中，只要有一个端点是不同的，表示的线段就不同. 想一想：线段上如果有5个端点呢？有10个端点呢？

小结规律：

1、1+2+……+（n-1）

2、n×（n-1）÷2 【设计理念】注意引导学生思考：怎样从左边变成右边？是如何变形的？根据是什么？以此领路引航，学生不但学会这种变形，同时还能学会思考问题的方法。理论与实践相结合，让学生充分感受所学知识的实用价值，学以致用的同时提升对所学知识的理解程度。

五、拓展延伸，优化思维：

【设计理念】通过师生、生生互动和变式拓展训练，充分发挥学生的主体作用，帮助学生理解并掌握相关知识，充分感受此定理在几何学习中的意义及价值。使学生在知识及能力方面达到新课程标准的要求，并得以升华。

六、小结反思，提炼升华：

1.通过本节课学习，你学到了哪些知识技能与思想方法？你又有哪些感受与

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体验？

2.你还有哪些问题与困惑？请与同学分享！

教师点评：

1.方法总结：观察、猜想、归纳等学习方法；

2.思想提炼：类比思想，化归思想，一般化与特殊化思想. 【设计理念】设计这一环节，旨在引导和帮助学生采用回忆、叙述，同学补充纠错，教师适时点拨的方式，让其梳理知识，既是对所学内容的复习巩固，又训练了学生的归纳和表达能力，有利于培养学生良好的数学思维习惯，形成知识体系。

七、作业布置，巩固强化：

1.必作题：课本练习第1-3题；

2.选作题（详见《导学案》）

【设计理念】本着有益有趣的原则，为了满足不同层次学生的认知需求，促使他们都能有所收获，采用分层作业的方式，采用“必做题”、“选做题”等作业方式。以便学生带着数学问题走出课堂，从而使得学生的创新思维得以激活，动手能力得以提升。

附：板书设计：

教学反思：（略）

二0一七年九月一日

分式的基本性质（1）

问题情境： 新知探究： 例题学习： 数学思想：

1. 图示 例1：… … …

2. 数学推理 … … … …

… … 变式训练

结论：… … 学生活动 学生活动

… … … …

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