9.5 三角形的中位线优秀教学实录

9．5 三角形的中位线

一、内容和内容解析

1.内容

三角形的中位线.

2.内容解析

三角形的中位线是三角形重要的线段之一，它是在学生已经学过三角形有关知识和平行四边形的性质和判定定理的基础上进行学习的，这是对前面所学知识的应用和深化；三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，是研究其他图形基础，而且在解决实际问题中有广泛的应用；它是今后解决有关线段的倍分问题的重要工具，也是证明平行问题的新方法，在平行线等分线段定理学习也涉及本节内容，本节教材对知识起到了承前启后的作用. 三角形中位线定理证明需要添加辅助线，三角形中位线定理的证明以平行四边形的性质和判定为依据的，是平行四边形知识的综合应用，由于学生的认知还未能达到运用三角形转化为平行四边形的水平，如何找到辅助线对学生来说是困难的，通过拼图操作实验中启发学生获得如何添加辅助线思路，在证明三角形中位线定理过程中蕴含“转化”这一重要的数学思想，这对今后的学习有重要的指导意义，同时进一步应用三角形中位线定理解决问题，积累数学活动经验，发展推理能力. 基于以上分析，确定本节课教学重点是：要让学生从拼图操作实验中获得证明的思路及三角形中位线定理的证明和运用. 二、目标和目标解析

1.目标

（1）掌握三角形中位线的概念，明确三角形中位线与三角形中线的区别；

（2）探索并证明三角形中位线定理，并能运用它进行简单的推理和计算；

（3）经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法，进一步学会数学思考和有条理地表达，发展推理能力. 2.目标解析

在《义务教育数学课程标准(2011年版）》中涉及本节课有关的条目是：

“探索并证明三角形中位线定理”.“探索”属于过程目标行为动词，学生能独立或与他人合作，通过度量，剪、拼实验操作活动，掌握三角形中位线的概念，明确三角形中位线与三角形中线的区别，寻求证明的思路，“证明”属于“运用”水平，是结

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果目标行为动词，通过剪、拼发现的思路，综合使用已掌握的知识，选择适当方法证明定理，发展逻辑思维能力，并能运用三角形中位线定理解决问题. 达成目标（1）的标志是：学生能通过度量或剪图、拼图等实验，掌握三角形中位线的概念，明确三角形中位线与三角形中线的区别；在实验的过程中能发现其中蕴含的辅助线，或由式结构联想形结构发现添加辅助线方法，并运用平行四边形的性质和判定定理证明三角形中位线定理. 达成目标（2）的标志是：在实验的过程中能发现三角形中位线定理和其中蕴含的辅助线，或由式结构联想形结构发现添加辅助线方法，并运用平行四边形的性质和判定定理证明三角形中位线定理. 达成目标（3）的标志是：学生能正确添加辅助线，运用平行四边形相关知识证明三角形中位线定理时，有理有据. 并运用三角形中位线定理解决简单的与三角形中位线有关的计算和证明问题. 三、教学问题诊断分析

“三角形中位线定理”涉及到位置关系和数学关系，三角形中位线等于第三边的一半是一种整体与部分间的关系，这与学生以前所学、所证的线段整体间的关系不同，将线段间的倍分问题转化为线段间相等的问题，体现的是“转化”的数学思想，八年级学生虽然具备了一定逻辑推理能力，但对数学思想的认识是很肤浅的，证明三角形中位线定理添加辅助线，学生会感到困难，教学时，教师要让学生通过剪图、拼图，引导学生在实验的过程中感悟添加辅助线的方法，引导学生从式结构去联想形结构，联想辅助线的添加思路，进而发现证明的思路并证明定理. 本节课的教学难点是：如何从拼图中得到启发而发现证明思路，找到三角形中位线所添加的辅助线，证明三角形中位线定理. 四、教学支持条件分析

利用多媒体辅助教学，展示学生学习的过程，同时通过式结构和形结构的最近联想，启发帮助学生分析图形内在联系，发现添加辅助线的方法，从而突破难点. 五、教学过程设计

1.操作探索，引入新知

操作1 如图1，对任意△ABC，分别取AB、AC的中点D、E，沿DE剪一刀，将它分成两部分，这两部分能拼成怎样的一个特殊四边形？ 师生活动：教师提问，学生动手操作实验.

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追问：你能从旋转的角度说明怎样拼成特殊四边形？

图1 图2 图3 拼成平行四边形，可以由△ADE绕E点旋转180°，拼在四边形BDEC的外侧；刚才的操作活动，我们发现很多有价值的发现，剪的这一段，即线段DE，我们把它叫△ABC的一条中位线（引入课题）

设计意图：从操作实验出发，让学生主动参与到课堂学习中来，激发学生学习兴趣，揭示三角形中位线概念.引导学生将三角形与平行四边形建立联系，从而发现三角形中位线定理的证明思想。

2.实验操作，探究新知

问题2你能给三角形中位线的定义吗？ 师生活动：学生口答，教师完善．

追问：（1）三角形中位线与我们已学过的哪个概念有类似之处？并区别

三角形的中线，中线是连接三角形的顶点与其对边的中点线段，而三角形中位线连接三角形两边中点的线段，从“中点”的角度进行分析比较

（2）△ABC除中位线DE，还有吗？若请你在图1中画一画.

操作2通过度量，验证，猜想△ABC的中位线和第三边BC的位置和数量上有什么关系？

师生活动：学生动手操作小组交流活动，猜想结论

1猜想：DE∥BC，DE＝BC，

2设计意图：让学生自己下定义，学生主动参与课堂学习，对比相近概念，辨清、

图4 3

理解中位线概念，让学生通过实验操作，猜想结论，但视觉误差，度量误差，进而感受证明的必要性. 3.观察思考，证明新知

问题3你能结合操作1过程中，寻找证明思路并证明？

已知：在△ABC（图6）中，D、E分别是边AB、AC的中点，

1求证：DE∥BC，DE＝BC．

2

图5

师生活动：学生独立思考后再讨论交流.

让学生回答，教师板书，师生共同完成证明过程，教师指出，经过证明的这个结论被称为“三角形中位线定理”

引导学生结合操作1 ，去探索发现添加辅助线方法，将三角形中位线的研究转化为平行四边形性质来研究，要证DE＝1BC，由式结构联想形结构，要证明线段的2“倍分”关系，我们一般有两种方法――截长或补短，截长法，如图，若取BC的中点F，连接EF，观察四边形BDEF，没有足够条件证明它为平行边形，也就无法证明1BC；补短法，通过操作1联想采用延长DE到点F，使DE＝EF，21连接CF，只要证四边形BDFC是平行四边形，那么DE∥BC，DE＝BC就成立，如2DE∥BC，DE＝何证四边形BDFC是平行四边形？先证△ADE≌△CFE，再证四边形BDFC是平行四1边形，从而证出DE∥BC，DE＝BC．

2图6

图7 图8

追问2 我们解决问题采用构造一对全等三角形，把三角形中位线问题转化为平行四边形问题，还有没有其他方法来证明四边形BDFC是平行四边形？

师生活动：学生思考后再讨论交流，连接CD，AF，先证四边形ADCF是平行四边形，再证四边形BDFC是平行四边形.

设计意图：让学生通过严格的逻辑推理证明“三角形中位线定理”，感悟几何证明的意义，体会几何证明的规范性，感悟辅助线在几何证明中的重要作用，培养学生有条理地表达能力.让不同学生根据自己的理解从不同的角度思考问题，体会由式结构联想形结构，开阔的证明思路，丰富学生解题经验，在强调方法多样性的同时，通过比

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较和方法优化，提升学生思维品质。

追问3以上就是三角形中位线性质，请分别用文字语言和符号语言叙述. 数学化认识

三角形的中位线性质：

符号语言：

三角形中位线有两个结论，它为哪些题型的研究开辟了新的途径？

师生活动：学生独立思考后再讨论交流.三角形中位线证明两直线平行和一线段是另一线段一半（或2倍）关系提供新的途径. 4.例题教学，应用新知

例1

在△ABC中，已知D、E分别为边AB、AC的中点，连结DE，若∠B＝40°，BC＝４cm，

则∠ADE＝

°，DE＝

cm.

F 变式：（1）若M、N分别是AD、AE中点，你能发现MN与BC的位置关系吗？为什么？

（2）取边BC的中点F，连接DF，EF，若△DEF的周长为10cm，则△ABC的周长为

cm.；若△ABC的面积为20 cm2,则△DEF的面积为

cm2.……

师生活动：学生独立思考完成，教师巡视、个别指导，帮助有困难的解决问题，并用希沃授课助手展示，师生共同分析学生解题过程

设计意图：运用三角形中位线定理计算角的度数和线段长度，巩固三角形中位线性质.

5.实践练习，巩固新知

（1）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6，则DE的长为（

）

（2）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的

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中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（

）

A．50°

B．25°

C．15°

（3）※用今天所学的知识与方法解决问题：

D．20 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，猜想梯形的中位线与上底、下底具有怎样的关系？并给予证明.

已知:如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，

D、E分别为边AB、DC的中点，

连结DE，

求证：

师生活动：学生口答第1题，第2题先独立再让学生讨论，第3题学生独立思考完成后师生再共同证明. 设计意图：通过简单的计算，使学生进一步熟悉三角形中位线定理，第2题关注学生的思考能力，第3题类比三角形位线定理探究证明过程，证明梯形中位线性质，体会“类比”和“转化”的思想方法.

6.小结与反思

教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：

（1）什么叫三角形的中位线？它有什么性质？

（2）你是如何找到三角形中位线定理的证明思路的？

设计意图：通过小结使学生梳理回顾本节课所学内容，掌握本节课的核心－三角形中位线定理. 7.布置作业

课本87页练习1，2，88页习题第1题

设计意图：及时了解学生学习情况，合理安排教学；通过练习，学生进行自我评价，发现问题，解决问题，学会反思；习题第1题是利用所学知识进行推理问题，培养学生逻辑推理能力.

六、目标检测设计

1．如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离为

m，理由是

.

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设计意图：检测学生对运用三角形中位线定理解决问题情况.

2．如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8cm，DF＝6cm，则EF＝

cm，AC＝

cm；△DEF的周长＝

△ABC的周长，S△DEF的面积＝

S△ABC的面积.

设计意图：检测学生对三角形中位线定理的掌握情况. 3.＝如图，在△ABC中，E、F分别为BC、AC的中点，延长BA至D，使AD＝AB，连结DF、EF、AE．

求证：四边形AEFD是平行四边形

设计意图：检测运用三角形中位经定理解决几何推理情况.

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