利用完全平方差公式进行因式分解全国优秀课堂实录

1 3．3

公式法

第2课时

利用完全平方公式进行因式分解

1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点) 2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)

一、情境导入

1．分解因式：

(1)x2－4y2；

(2)3x2－3y2；

(3)x4－1;

(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；

2．根据学***方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？

二、合作探究

探究点一：用完全平方公式因式分解

【类型一】

判定能否利用完全平方公式分解因式

下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(

) 1(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16. 4A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是a，b两数的积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a211－a＋＝(a－)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是3a和2b两数积的4倍，不能用完全平方公42式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.

方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型二】

运用完全平方公式分解因式

因式分解：

(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；

(2)(a2＋4)2－16a2. 解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．

解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；

(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2. 方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公

1 因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

探究点二：用完全平方公式因式分解的应用

【类型一】

运用因式分解进行简便运算

利用因式分解计算：

(1)342＋34×32＋162；

(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. 解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．

解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；

(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100. 方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

【类型二】

完全平方公式的非负性的运用

试说明：不论a，b，c取什么有理数，a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一定是非负数．

1解析：先提取后，分组凑成完全平方公式，从而判断它的非负性．

211解：a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝[(a2－2ab＋b2)＋(b2221－2bc＋c2)＋(a2－2ac＋c2)]＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一2定是非负数．

方法总结：本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键在于把原多项式化为三个完全平方公式和的形式，利用完全平方公式的非负性来作出判断．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第13题

【类型三】

整体代入求值

11

已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值．

22111解析：将a3b＋a2b2＋ab3分解为ab与(a＋b)2的乘积，因此可以运用整体代入的数学222思想来解答．

11111解：a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝22222×10×52＝125. 方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

三、板书设计

1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 2．完全平方公式的特点：

(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；

(2)有两个同号的平方项；

(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．

简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．

1

本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的能力