异分母分式的加减法名师课堂实录

第五课时

●课 题

§3.3.2 分式的加减法（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.异分母的分式加减法的法则. 2.分式的通分. （二）能力训练要求

1.经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力. 2.进一步通过实例发展学生的符号感. （三）情感与价值观要求

1.在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐. 2.提高学生“用数学”意识. ●教学重点

1.掌握异分母的分式加减运算. 2.理解通分的意义. ●教学难点

1.化异分母分式为同分母分式的过程. 2.符号法则、去括号法则的应用. ●教学方法

启发、探索相结合

●教具准备

投影片五张

第一张：做一做，（记作§3.3.2 A）

第二张：例1,（记作§3.3.2 B）

第三张：例2，（记作§3.3.2 C）

第四张：例3，（记作§3.3.2 D）

第五张：补充练习，（记作§3.3.2 E）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，类比异分母分数的加减法引入新课

［师］大家知道，对于异分母的分数相加减必须利用分数的基本性质，化成同分母的分数相加减，然后才能运算. 上一节课，我们讨论较简单的异分母的分式加减法.下面我们再来看几个异分母的加减法.（出示投影片

§3.3.2 A）

做一做

尝试完成下列各题：

41－=____________；

a2a11（2）+=____________; ababbc（3）－=____________; abbcba（4）+=____________. 3a2b（1）［生］我们已学过分式的一些知识，如分式的概念，分式的约分以及分式的乘除法等.这些知识，都是在与分数类比中得到的.我想异分母的分式的加减法也可类比分数的加减法，应先把异分母的分式加减法转化为同分母的分式的加减法. ［师］你的想法很好.在分数的加减法中，我们把异分母的分数化成同分母分数的过程

叫做通分. ［生］老师，我知道啦，在分式的加减法中，把异分母的分式化成同分母分式的过程也叫做通分. “做一做”中的几个异分母的分式加减法就需要先通分. Ⅱ.讲授新课

［师］下面可尝试用分式的基本性质，将“做一做”中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法，计算并化简. ［生］解：（1）=4141a4a－=－=－

2222aaaaaaa4a; a2111ba1ba（2）+=+=+

abababababab=; ababbc(ab)ca(bc)（3）－=－

ababcabcbcacbcabac=－

abcabc(acbc)(abac)=

abcacbcabac=

abcb(ca)=

abcca=

acbab2ba3a2b23a2（4）+=+=+

3a2b3a2b3a2b6ab6ab2b23a2=

6ab（让同学们分组讨论交流完成，教师可巡视发现问题并解决问题）. ［师］把异分母的分式加减法，通过通分，每个分式都化成同分母的加减法.你是怎样通分，把异分母的分式化成同分母的？

同学们可根据“做一做”的每个步骤，总结你是怎样通分的？（小组讨论完成）

［生］我认为通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘以什么样的“适当整式”，才能化成同分母. ［生］确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母. ［师］同学们概括得很好.下面我们来看一个例题（出示投影片§3.3.2 B）

［例1］通分：

yx1,2,；

2x3y4xy53（2）,; 2xy(yx)（1）

11,; x3x311（4）2,

a4a2（3）分析: 通分时，应先确定各个分式的分母的公分母：先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积. 解：（1）三个分母的公分母为12 xy2，则

yy626y3==; 222x2x6y12xyxx4x4x2==; 3y23y24x12xy2113y3y==

4xy4xy3y12xy2（2）因为（y－x）2=（x－y）2，所以两个分母的公分母为（x－y）2. 55(xy)5(xy)==; 2xy(xy)(xy)(xy)33=. (yx)2(xy)2（3）两个分母的公分母为（x+3）（x－3）=x2－9. 1x3x3==2; x3(x3)(x3)x91x3x3==2. x3(x3)(x3)x9（4）因为a2－4=（a+2）（a－2）,所以两个分母的公分母为a2－4. 11=; 22a4a41a2a2==2. a2(a2)(a2)a4［师］我们再来看一个例题（出示投影片

§3.3.2 C）

［例2］计算：

11－; x3x311（2）2－; a4a2（1）（3）用两种方法计算：

3xxx24（－）·. x2x2x（可由学生板演，学生之间互查互纠）. 11x3x3－=－

x3x3(x3)(x3)(x3)(x3)(x3)(x3)6==

22x9x911（2）2－

a4a2解：（1）

1(a2)

(a2)(a2)a1=

(a2)(a2)a1=－

(a2)(a2)=（3）方法一：（按运算顺序，先计算括号里的算式）

3xxx24（－）·

x2x2xx243x(x2)x(x2)=（－）·

x(x2)(x2)(x2)(x2)(3x26x)(x22x)(x2)(x2)=·

x(x2)(x2)2x28x==2x+8. x方法二：（利用乘法分配律）. 3xxx24（－）·

x2x2x3x(x2)(x2)x(x2)(x2)=－

(x2)x(x2)x=3（x+2）－（x－2）

=3x+6－x+2=2x+8. 出示投影片（§3.3.2 D）

［例3］甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料. （1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？

（2）谁的购货方式更合算？

［师生共析］由于两次购买饲料的单价有所变化，可设第一次购买的饲料的单价为m元/千克，第二次购买的饲料的单价为n元/千克，甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量.在第（2）题中，比较甲、乙所购饲料的平均单价，谁的平均单价低谁的购货方式就更合算，可以用作差法比较平均单价. 解：（1）设两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m,n是正数，且m≠n）

甲两次购买饲料的平均单价为

1000m1000nmn=（元/千克）

100022乙两次购买饲料的平均单价为

2mn8002=（元/千克）

800800mnmn（2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是

mn2mn－

2mn

4mn(mm)2=－

2(mn)2(mn)m22mnn24mn=

2(mn)(mn)2=

2(mn)mn2mn(mn)2由于m、n是正数，因为m≠n时，也是正数，即－＞0，因此2mn2(mn)乙的购买方式更合算. Ⅲ.课堂练习

1.随堂练习第1题第（2）小题：

12－

2a11a12解：原式=－2

a1a12a1=－2

(a1)(a1)a1a12=2－2

a1a1a1(2)a3==2

a21a1（2）2.补充练习（出示投影片§3.3.2 E）

122+; m293m4（2）a+2－. 2a122解：（1）2+

m93m122=+

(m3)(m3)(m3)122(m3)=+

(m3)(m3)(m3)(m3)122(m3)=

(m3)(m3)62m=

(m3)(m3)2(m3)=

(m3)(m3)2=－. m34a24（2）a+2－=－

2a12a计算：（1）

(2a)(2a)4－

2a2a4a24a2(1)==

2a(2a)(1)=a2=

a2Ⅳ.课时小结

这节课我们学习了异分母的分式加减法，使我们提高了分式运算的能力. Ⅴ.课后作业

习题3.5第1、2、3、4题

Ⅵ.活动与探究

若ABx3=+，求A、B的值. (x1)(x1)x1x1［过程］本题把一个真分式化成两个部分分式之和的形式，这里A和B都是待定系数，待定系数可根据对应项的系数来求解. ［结果］右式通分，得

x3A(x1)B(x1)=. (x1)(x1)(x1)(x1)因为左右恒等且分母相同，故分子应恒等，即x－3≡A（x－1）+B（x+1）

所以x－3=（A+B）x+（－A+B）

对应系数比较，得解得AB1

AB3A2

B1§3.3.2 分式的加减法（二）

所以A=2，B=－1 ●板书设计

1.(根据分式的基本性质)—通分

同分母的分式相加减2.［例1］通分

（1） （2） （3） （4）（略）

［例2］计算

异分母的分式相加减11－; x3x311（2）2－

a4a23xxx24（3）（－）·. x2x2x（1）［例3］（略）