复习题第一课时评课稿

第一章、三角形的证明

姓名：___________班级：___________ 一、单选题(每题3分) 1．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为(

)

A. 25

B. 25或20

C. 20

D.

15 2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(

) A．

B．1,

C．6,7,8

D．2,3,4 3．三角形内到三边的距离相等的点是（

）

A．三条中线的交点

B．三条高的交点

C．三条角平分线的交点

D．以上均不对

4．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，

则∠ACE等于（

）

A．15°

B．30°

C．45°

D．60°

5.如图，已知 是

的角平分线， 是 的垂直平分线，∠

°，

，

则 的长为（

）

A．6

B．5

C．4

D．

6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，

则AC长为( ) A．2

B．3

C．4

D．以上都不对

(第4题) (第5题) (第6题) (第7题)

7．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（

）

A．AB＝2BD

B．AD⊥BC

C．AD平分∠BAC

D．∠B＝∠C 8．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（

）

A．36°

B．60°

C．72°

D．108°

9．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ACD=3，DE=2，则AC长是(

)

A．3

B．4

C．5

D．6

10.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（ ）

A.2cm、2cm、2cm B.3cm、3cm、3cm C.4cm、4cm、4cm D.2cm、3cm、5cm

二、填空题(每题3分) 1.到三角形三个顶点距离相等的点是

的交点. 2．在等腰ΔABC中，若∠A=50°,则顶角

度.

3．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______．

4．如图，已知四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，那么Rt

ABC≌Rt

ADC，根据是 ________ 5．若∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，PD∥AC，且PD＝6，PE⊥AC，则PE＝________.

6．如图，AD是

ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则

ACD的面积为

．

(第3题)

(第4题)

(第5题)

(第6题) 7．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是

．

8．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC.则∠PCQ的度数为________．

三、作图题（6分）

某开发区在两条河BA与CA所夹的角之间，M、N是两个工厂，现要在开发区内建一个货物中转站，要求它到两条河的距离相等，到两工厂的距离也相等，请找出货物中转站的位置P．（用尺规作图，不写作法，保留痕迹）

第1页

共4页

◎

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共4页

四、解答题（共40分）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC的面积．（8分）

2．如图是一块地，∠B＝90°，AD＝24 m，AB＝8 m，BC＝6 m，CD＝26 m，求这块地的面积．（

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3.如图所示，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC=∠DAC，CE∥AB．求证：

CDE是等边三角形．（10分）

4．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．（12分）

（1）求证：∠PCD=∠PDC；

10）

（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．

◎

第4页

共4页

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参考答案

1．B 【解析】

【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.

【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，

又∵m、n恰好是等腰

ABC的两条边的边长，

①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，

②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，

故选B.

【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.

2．A 【解析】

【分析】

先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．

【详解】

∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，

∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，

∵点E在AD上，

∴BE=CE，

∴∠EBC=∠ECB，

∵∠EBC=45°，

∴∠ECB=45°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

答案第1页，总22页

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∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，

故选A．

【点睛】

此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．

3．D 【解析】

【分析】根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.

【详解】∵ED是BC的垂直平分线，

∴DB=DC，

∴∠C=∠DBC，

∵BD是

ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠DBC，

∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，

∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，

∴BD=2AD=6，

∴CD=6，

∴CE=CD×cos∠C=3

，

故选D．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.

4．B 【解析】试题解析：A．（

）2+（

）2≠（

）2，故该选项错误；

B．12+（

）2=（

）2,故该选项正确；

C．62+72≠82，故该选项错误；

D．22+32≠42，故该选项错误. 故选B. 考点：勾股定理. 视频

5．C 【解析】

【分析】

先根据平行线的性质求出 的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出

的度数．

【详解】

直线

，

，

，

，

，

答案第2页，总22页

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，

，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．

6．D 【解析】分析：利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．

详解：A. a2=b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定

ABC为直角三角形，不符合题意；

B. ∠A+∠B=∠C，此时∠C是直角，能够判定

ABC是直角三角形，不符合题意；

C. 52=32+42，符合勾股定理的逆定理，能够判定

ABC为直角三角形，不符合题意；

D. ∠A:∠B:∠C=3:4:5,那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，

ABC不是直角三角形；

故选：D.

点睛：此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三个内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形.

7．C 【解析】

【分析】

过点C作CD⊥y轴，垂直为D，首先证明

BOA≌△BCA，从而可求得BC的长，然后再求得∠DCB=30°，接下来，依据在Rt

BCD中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标．

【详解】

，

，

，

≌

，

，

，

过点C作

轴，垂直为D，则

，

，

，

，

故选C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．

8．D 【解析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，∠BAE=∠B．

解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=40°，

答案第3页，总22页

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故选D．

9．A 【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=AE．

【详解】

解：∵DE垂直平分AB交BC于点E，

∴AE=BE=4，

由AE=BE，可知∠B=∠EAB=15o，∠AEC是

ABE的外角，

∴∠AEC=∠B+∠EAB=30°，

∵∠C＝90°，在Rt

AEC中，∠C＝90°，∠AEC=30o，AE=4，

∴AC=

.

故选择A.

【点睛】

本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等）以及直角三角形的性质，难度一般．

10．A 【解析】

试题分析：根据等腰三角形的性质可得：∠B=∠C，根据三线合一定理可得：AD⊥BC，AD平分∠BAC，故选A．

11．D 【解析】

分析：利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB=MO，NC=NO，将三角形AMN周长转化为AB+AC，求出即可．

详解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO．

∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO，∴∠ABO=∠MOB，∠NOC=∠ACO，∴MB=MO，NC=NO，∴MN=MO+NO=MB+NC．

∵AB=4，AC=6，∴△AMN周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=10．

故答案为：10．

点睛：本题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，熟练掌握各自的判定和性质是解答本题的关键．

12．C 【解析】

答案第4页，总22页

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根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．

解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，

故选C．

13．C 【解析】

连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，如图所示：

∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，

∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，

∴AB=

cm=AC，

∵AB的垂直平分线EM，

∴BE=

AB=

cm

同理CF=

cm，

∴BM=

=2cm，

同理CN=2cm，

∴MN=BC-BM-CN=2cm，

故选C．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．

14．A

【解析】

试题分析：分两种情况：

当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；

当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25cm．

故选A．

考点：三角形的三边关系

15．C 【解析】

由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．

解：∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，

答案第5页，总22页

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∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=∠BCA，

∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，

∴∠BFC=180°﹣60°=120°，

故选C．

16．B 【解析】

试题解析：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE=

∠ACB，∠ACF=

∠ACD，即∠ECF=

（∠ACB+∠ACD）=90°，

∴△EFC为直角三角形，

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，

∴CM=EM=MF=5，EF=10，

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．

故选B．

【点睛】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出

ECF为直角三角形．

17．C 【解析】

【分析】

根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，根据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，根据三角形的周长公式，可得答案．

【详解】

由（a-3）2+|b-6|=0，得

a-3=0，b-6=0．

则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为

6，底边长为3．

周长为6+6+3=15，

故选：C．

【点睛】

考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键,即令a-3=0，b-6=0，解之即可．

答案第6页，总22页

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18．A 【解析】

【分析】

过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S

ABC=S

ABD+S

ACD列出方程求解即可．

【详解】

如图，过点D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE=DF，

由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

∴×4×2+×AC×2=7，

解得AC=3．

故选：A

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

19．C 【解析】分析：根据等边三角形性质得出AB=AC，∠BAE=∠C=60°，证

ABE≌△CAD，推出∠ABE=∠CAD，根据三角形外角性质求出∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC，即可求出答案．

详解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，

在

ABE和

CAD中，

∵AB=AC，

∠BAE=∠C，

AE=CD，

∴△ABE≌△CAD(SAS)，

∴∠ABE=∠CAD，

∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60

故选：C.

点睛：本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的对应边相等，对应角相等．

20．A 【解析】试题分析：由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，∵DE垂直平分AB，

答案第7页，总22页

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∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，

∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，

∴∠CAD=30°，

∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，

∴CD=DE=BD，

∵BC=3，

∴CD=DE=1 考点：线段垂直平分线的性质

21．C 【解析】

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．

【详解】

在同一平面内，到三角形三边距离相等的点是三角形的三条角平分线的交点．

故选：C．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

22．C 【解析】∵△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，

∴AB=2BC，AD=DB＞AE，

∴AD=DB，故选项B正确，

AD＞BC，故选项C错误，

BC=AE，故选项D正确，

∵∠DEB=∠DCB=90°，

在Rt△DBE和Rt△DBC中，

{BCBEBDBD

，

∴Rt△DBE≌Rt△DBC（HL），

∴DE=DC，故选项A正确，

故选C．

23．C 【解析】试题解析：∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，

∴AD=AE，BC=BE，

∵AB=AE+BE，

∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；

在Rt

AOD和Rt

AOE中，

AO＝AO{

，

AD＝AE∴Rt

AOD≌Rt

AOE（HL），

∴OD=OE，∠AOE=∠AOD，

同理可得OC=OE，∠BOC=∠BOE，

∴∠AOB=1×180°=90°，故B选项结论正确；

2与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故C选项结论错误；

∵OC=OD=OE，

∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．

故选C．

答案第8页，总22页

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24．C 【解析】

【分析】

本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．

【详解】

解：如图1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是3时，需要爬行的路径的长=

=

cm；

如图2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是4时，需要爬行的路径的长=

=

cm；

如图3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是6时，需要爬行的路径的长=

=

cm.

所以要爬行的最短路径的长

cm.

故选C.

【点睛】

本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线.

25．A 【解析】根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，得到AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．

故选A．

点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

26．

【解析】分析：根据勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的答案第9页，总22页

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面积求解即可.

详解：∵三角形三边长分别为

，

，

∴

∴三角形是直角三角形

∴

高

∴高为

故答案为：

.

点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形是解题关键.

27．3

【解析】

分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．

详解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．

∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．

∵BD平分∠ABC交AC于D，

∴∠ABD=∠DBC=36°，

∵∠A=∠ABD=36°，

∴△ABD是等腰三角形．

∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，

∴△BDC是等腰三角形．

∴共有3个等腰三角形．

故答案为：3．

点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．

28．15

【解析】

分析：作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．

详解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，

由作图知CP是∠ACB的平分线，

∵∠B=90°，BD=3，

∴DB=DQ=3，

∵AC=10，

∴S

ACD=

•AC•DQ=

×10×3=15，

答案第10页，总22页

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故答案为：15．

点睛：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．

29．32s或50s 【解析】分析：分∠APB与∠PAB两种情况进行分类讨论，当∠APB=90°时，AP⊥BC，根据等腰三角形的性质可得出BP=CP，故可得出t的值；当∠PAB=90°时，过点A作AE⊥BC交BC于点E，由等腰三角形的性质得出BE=CE，用t表示出PE的长，再由勾股定理即可得出结论．

详解：如图1中，当∠APB=90°时，AP⊥BC．

∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=CP=

BC=8cm，∴

t=8，解得：t=32秒；

如图2中，当∠PAB=90°时，过点A作AE⊥BC交BC于点E．

∵AB=AC，AE⊥BC=8，

∴BE=CE=BC=8，∴PE=BP﹣BE=t﹣8．

在Rt△AEC中，AE2=AC2﹣CE2，即AE2=102﹣82，解得：AE=6cm．

22在Rt

PAB中，AP2=BP2﹣AB2．在Rt

AEP中，AE2=PE2+AE2，∴（

t）﹣100=（

t﹣8）+36，

解得：t=50（秒）．

综上所述：t的值为32秒或50秒．

故答案为：32s或50s．

点睛：本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．

30．75

【解析】

因为△AEF是等边三角形，所以∠EAF=60°，AE=AF，

因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°.

所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），所以∠BAE=∠DAF.

答案第11页，总22页

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所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°，

所以∠BAE=15°，所以∠AEB=90°-15°=75°.

故答案为75.

31．13

【解析】

试题分析：已知DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，所以

BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，

考点：线段的垂直平分线的性质. 32．12cm 【解析】试题分析：根据线段中垂线的性质可得：AE=BE，则△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=4+8=12cm．

33．10．

【解析】

如图，

过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴DE=DF，

又∵AB：AC=3：2，

∴AB=AC，

∵△ABD的面积为15

∴S△ABD=AB×DE=×AC×DF=15，

∴

AC×DF=10

∴S△ACD=

AC×DF=10

故答案为：10．

点睛：本题考查了角平分线的性质；此题的关键是根据角平分线的性质，求得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即

ABD边AB上的高与

ACD边AC上的高相等．

34．32°.

答案第12页，总22页

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【解析】

【分析】

先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）解答即可．

【详解】

∵△ABC中，∠BAC＝106°，

∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−106°＝74°，

∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，

∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，

即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，

∴∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）＝106°−74°＝32°．

故答案为32°．

【点睛】

本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键．

35．12

【解析】

【详解】

试题解析：∵BD是角平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

∵FE∥BC，

∴∠DBC=∠EDB，

∴∠DBE=∠EDB，

∴BE=ED，

同理DF=DC，

∴△AED的周长=AE+AF+EF=AB+AC=5+7=12（cm）

故答案为：12．

36．3

【解析】

分析：过P作PF⊥AB于F，根据平行线的性质可得∠FDP=∠BAC=30°，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．

详解：过P作PF⊥AB于F．∵PD∥AC，∴∠FDP=∠BAC=30°，∴在Rt△PDF中，PF=

PD=3．

答案第13页，总22页

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∵AP平分∠BAC，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∴PE=PF=3．

故答案为：3．

点睛：本题考查了角平分线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．

37．15

【解析】

∵DE是BC的垂直平分线，

∴DB=DC，

∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，

故答案为：15．

38．2

【解析】

【分析】

连接BD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC＝2BD，根据线段垂直平分线的性质求出AD＝BD，即可求出答案．

【详解】

连接BD，

∵AB＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠C＝（180°−∠ABC）＝30°，

∴DC＝2BD，

∵AB的垂直平分线是DE，

∴AD＝BD，

∴DC＝2AD，

∵AC＝6，

∴AD＝

×6＝2，

故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出AD＝BD和DC＝2BD是解此题的关键．

39．6cm

答案第14页，总22页

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【解析】

【分析】

根据角平分线的性质得到DE=CE，结合图形计算即可．

【详解】

∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∠C=90°，

∴DE=CE，

∴AE+DE=AE+CE=AC=6cm．

故答案为：6cm．

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

40．（

）°

【解析】

【分析】

根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，∠A=∠AQP，∠QPC=∠QCP，∠BQC=∠B，设∠A=x°，则∠AQP=x°，根据三角形的外角性质求出∠QPC=∠PCQ=2x°，∠BQC=3x°，∠ACB=∠B=3x°．在

ABC中根据三角形的内角和定理得出方程x°+3x°+3x°=180°，解方程求出即可．

【详解】

∵AB=AC，AP=PQ，QP=QC，QC=BC，∴∠ABC=∠ACB，∠A=∠AQP，∠QPC=∠QCP，∠BQC=∠B（等边对等角），

设∠A=x°，则∠AQP=x°，

∵在△AQP中，∠QPB是外角，∴∠QPC=∠A+∠AQP=2x°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

∵在△BCQ中，∠BQC是外角，∴∠BQC=∠ACQ+∠A（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∴∠BQC=3x°，∴∠B=3x°，∴∠ABC=3x°，

∵在△ABC中，∠A+∠ACB+∠B=180°，∴x°+3x°+3x°=180°（三角形三个内角的和等于180°），

答案第15页，总22页

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解得：x=（

）°，∴∠PCQ=2x=（）°．

）°．

故答案为：（

【点睛】

本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能得到方程x°+3x°+3x°=180°是解答此题的关键．

41．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由角平分线的性质可得PC=PD，即可证明∠PCD＝∠PDC；（2）先证明△OCP≌△ODP，由此可得OC＝OD，进而证明点O在CD的垂直平分线上，由（1）PC=PD可得点P也在CD的垂直平分线上，所以OP是线段CD的垂直平分线.

试题解析：

（1）∵OP是∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC＝PD，

∴∠PCD＝∠PDC；

（2）∵OP是∠AOB的角平分线，

∴∠COP＝∠DOP，

∵PC⊥OA，PD⊥OB，

∴∠OCP＝∠ODP＝90°，

在△OCP和△ODP中，

＝

＝

，

＝ ∴△OCP≌△ODP（AAS），

∴OC＝OD，

∴点O在CD的垂直平分线上，

∵PC＝PD，

∴点P在CD的垂直平分线上，

∴OP是CD的垂直平分线.

点睛：（1）熟练掌握角平分线的性质；

（2）要证明直线是否是线段的垂直平分线，可以通过直线上的点到线段两端点距离相等证明.

42．（1）见解析；（2）∠EBC =21°，∠F=23°．

【解析】试题分析：(1)、根据题意得出AE=BE，然后结合AD=BD得出答案；(2)、根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=67°，根据∠EBC=∠ABC﹣∠ABE和∠F=90°﹣∠ABC得出角度．

试题解析：(1)、证明：∵∠A=∠ABE，

∴EA=EB，

∵AD=DB，

∴DF是线段AB的垂直平分线；

(2)、解：∵∠A=46°，

∴∠ABE=∠A=46°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=67°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，

∠F=90°﹣∠ABC=23°．

43．△ACD是直角三角形．

答案第16页，总22页

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【解析】

试题分析：首先利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理的逆定理证明

，可得

是直角三角形．

试题解析：证明：∵

，

AB=15,BC=9,

∴

，

∵

，

∴

，

∴

,

∴△ACD是直角三角形.

点睛：在三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

44．∠A=36°

【解析】试题分析：设∠A的度数为x°，由等腰三角形的性质分别表示出∠ABC和∠C的度数，再根据三角形内角和列方程求解即可. 试题解析：

设∠A=x°，

∵BD=AD，

∴∠A=∠ABD=x°，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，

∵BD=BC，

∴∠BDC=∠BCD=2x°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠BCD=2x°，

在△ABC中x+2x+2x=180，

解得：x=36，

∴∠A=36°. 点睛：本题关键在于设出未知数，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和列方程求解. 45．画图见解析

【解析】

试题分析：要使P到三条公路的距离相等，那么P点必然在这三条公路夹角的角平分线上，因此，分别作出l1与l3、l2与l3夹角的角平分线，在区域A内的交点即为点P.

试题解析：

如图，点P即为所求．

点睛：本题关键在于利用角平分线的逆定理解题，掌握尺规作图作角平分线的方法.

46．60.

答案第17页，总22页

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【解析】试题分析：过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出

ABC的面积. 试题解析：作AD⊥BC于D.

∵AB＝AC，

∴BD＝CD＝5，

∴AD＝12，

∴S

ABC＝1BC·AD＝60 247．证明见试题解析．

【解析】

试题分析：在DC上取DE=BD，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=AE，根据等边对等角的性质可得∠B=∠AEB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C=∠CAE，再根据等角对等边的性质求出AE=CE，然后即可得证．

试题解析：如图，在DC上取DE=BD，∵AD⊥BC，∴AB=AE，∴∠B=∠AEB，在

ACE中，∠AEB=∠C+∠CAE，又∵∠B=2∠C，∴2∠C=∠C+∠CAE，∴∠C=∠CAE，∴AE=CE，∴CD=CE+DE=AB+BD．

考点：等腰三角形的判定与性质．

48．这块地的面积是96 m2.

【解析】

【分析】

先连接AC，在Rt

ABC中，利用勾股定理可求AC，进而求出AC2+AD2=CD2，利用勾股定理逆定理可证

CAD是直角三角形，再利用S四边形ABCD= S

ACD -S

ABC，即可求地的面积．

【详解】

连接AC.

答案第18页，总22页

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在Rt△ABC中，∠B＝90°，

∴AC＝＝10，在△ADC中，

AC2＋AD2＝102＋242＝676，CD2＝262＝676，

∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠CAD＝90°.

∴S四边形ABCD＝S△ADC－S△ABC＝AC·AD－AB·BC

＝×10×24－×8×6

＝120－24

＝96.

答：这块地的面积是96 m2.

【点睛】

本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是要构造直角三角形ABC，并证出

CAD是直角三角形

49．作图见解析

【解析】试题分析：(1)以点A为圆心，以任意长为半径在角的两边画弧，分别交AB、AC于点E、F;(2)再分别以E、F为圆心，以大于线段EF的一半为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点D;(3)过点D作射线AD。则AD即为∠BAC的角平分线。AD与BC的交点即为P点.角平分线上的点到角的两边距离相等.

试题解析：如图：

50．见解析

【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC，

BD=CD，根据SSS证明

BAD≌△CAD，根据全等三角形的性质即可证得∠ABD=∠ACD.

试题解析：

∵直线AD是线段BC的垂直平分线，

∴AB=AC，

BD=CD，

答案第19页，总22页

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∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，

∴△BAD≌△CAD.

∴∠ABD=∠ACD.

51．证明见解析.

【解析】

分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论．

详解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵DE⊥AB，

DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．

∵D为的AC中点，∴DA=DC．

又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，

∴∠A=∠C，

∴∠A=∠B=∠C，

∴ΔABC是等边三角形．

点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C．

52．详见解析

【解析】

【分析】

（1）由角平分线定义可证

BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt

FAC≌Rt

EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.

【详解】

（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，∴△BCE≌△DCF；

（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴∠F=∠CEA=90°，

在Rt△FAC和Rt△EAC中，∴Rt

FAC≌Rt

EAC，

∴AF=AE，

∵△BCE≌△DCF，

，

答案第20页，总22页

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∴BE=DF，

∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定、性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．

53．这个三角形的腰长是8，底边长是2．

【解析】

【分析】

设AD=CD=x，AB=AC=2x，BC=y，根据题意分两种情况进行讨论即可得.

【详解】

设AD=CD=x，AB=AC=2x，BC=y，

当AB+AD=12时，

，解得

；

当AB+AD=6时，

，解得

，此时2+2<10，不合题意，舍去，

答：这个三角形的腰长是8，底边长是2．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边的关系，正确地分类讨论是解题的关键.

54．(6+

)cm2.

【解析】

试题分析：如图，连接BD，根据勾股定理可得DB=

=3cm，然后根据勾股定理的逆定理，可得△BDC是直角三角形，∠DBC=90°，再根据三角形的面积公式求出四边形的面积.

试题解析：如图，连接BD，

在△ADB中，∠A=90°，AB=2cm，AD=

cm，

根据勾股定理可得DB=

=3cm，

由BD2=9，CD2=25，BC2=16，

可得△BDC是直角三角形，∠DBC=90°，可

所以三角形的面积公式知四边形的面积为

=（6+

）cm2.

点睛：此题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．

55．（1）

；（2） ．

【解析】

答案第21页，总22页

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【分析】

（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°列式求出∠BCD的度数；

（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AB＝2AE，把

BCD的周长转化为AC、BC的和，然后代入数据进行计算即可得解．

【详解】

∵

，

，

∴

；

∵ 是 的垂直平分线，

∴

，

，

∵

的周长

，

∴

的周长

．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，准确识图并熟记性质是解题的关键．

56．见解析

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定，证明△BCE≌△ACD，得出CE=CD及∠ECD =60°，即可得出答案．

【详解】

证明：∵∠ABE+∠CBE=60°，∠CAD+∠ADC=60°，∠EBC=∠DAC，

∴∠ABE=∠ADC．

又CE∥AB，∴∠BEC=∠ABE．

∴∠BEC=∠ADC．

又BC=AC，∠EBC=∠DAC，

∴△BCE≌△ACD．

∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，即∠ECD=∠ACB=60°．

∴△CDE是等边三角形．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．

答案第22页，总22页