3.1.1 变化率问题优质教案设计

平均变化率

一.

教材依据

平均变化率

二.

设计思想

指导思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法．

设计理念：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数的深入研究，产生了微积分．导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具．理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要．正如《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“…．这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎．”

故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念．在设计这节课时，我把重点放在（1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；（2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法．

学情分析：我们学校是我市的重点学校，我教的班是政治普通班，学生的基础总体上可以，有个别学生在学习数学时有点困难，他们觉得数学就是太抽象了，所以在教学时要照顾中下的学生，为了加深学生对导数概念的印象，增加上课的气氛，我事先买了两个气球，在上课时准备请两学生上来吹，并让他们谈谈随着气球内空气容量的增加，气球半径变化情况．另我校一节课是40分钟. 三.

教学目标

1.

通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；

2.

掌握平均变化率的概念及其计算步骤，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；

3.

掌握求函数在指定区间上的平均变化率，能利用平均变化率解析生活中的实际问题；

4.

通过分析实例，初步探究由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，让学生体会用已知探究未知的思考方法．

四.

教学重点

1.

通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；

2.

掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；

五.

教学难点

1.

如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢？”

2.

掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；

六.

教学准备

1.

认真阅读教材、教参，寻找有关资料；

2.

向有经验的同事请教；

3.

从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．

七.

教学过程

1.

教学基本流程：

- 1 -

通过实例分析，激发求知欲

学生思考、讨论，提出想法

得出平均变化率的概念

通过例题和练习，进一步理解函数平均变化率

小结

布置作业

2.

教学情景设计

问题

设计意图

师生活动

备注（练习、时间（分钟））

（1）让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？

让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习．

（1）

学生先阅读，思考，老师再提示；

（2）

章引言：①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入3 研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值．

（3）

学生演示吹气球过程，谈过程，老师点评．

（4）

得出结论：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．

（2）气球膨胀率问题：

老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情

（1）

让学生吹气球，可以增加课堂气氛，同时加深学习导数的印象．

（2）

对一种生活2.5 - 2 -

景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？

现象的数学解析，可以激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是有用的. （１）组织学生讨论问题，阐述想法；

（２）引导学生“以已知探求未知”，从气球体积出发，寻求想法；

（３）师生共同确定想法：①气球体积V与气球半径r之间的关系（3）现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”，从数学的角度该如何描述？

（1）让学生充分思考、讨论，体会把通俗语言转化为数学语言，用数字说明问题的过程. （2）使学生感受到数学知识的产生发展是自然的，并非强加于人的，从而激发他们学习的兴趣与愿望. （3）使学生逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法. r(V)33V；②＂随着气球体积的44 增大，当气球体积增加量相同时，相应半径的增加量越来越小＂，从数学角度进行描述就是，“随着气球体积的增大，比值半径的增加量越来越体积的增加量半径的增加量就是气体积的增加量小”．③比值球的平均膨胀率．

（4）请分别计算Ｖ从０增加到１Ｌ时，从１Ｌ增加到２Ｌ的平均膨胀率 . （1）让学生体会需要用数字来说明问题；

（2）让学生感受气球（1）

学生计算，交流计算结果，并膨胀率大小的变化，讨论结果代表的意思；

从而体会平均膨胀率可以刻划气球半径变化的快慢．

2.5 （5）

“思考”

让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的思考过程. （1）

老师可以表演从凳子上跳下来，模拟高台跳水，以加深学生学习导数这一当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是r(V2)r(V1)

V2V10.5 （6）高台跳水问题：

在高台跳水运动中，运动员相对于

引导学生列出关系式：2h(t)=-4.9t+6.5t+10．

2 - 3 -

水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？

章的印象，使学生学习完本章知识后，能在头脑中保留一个导数的实际模型——高台跳水，以使抽象概念具体化；

（2）

针对具体问题，寻求解决问题的方法. （7）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1再次通过计算，理解≤t≤2，1.8≤t平均变化率. ≤2，2≤t≤2.2，时间段里的平均速度. （1）该探究题的第一问的结果是平均速度为0，但实际上并不是这样，问题在哪里？

（2）这个探究设计得好，为以下提出导数概念做了铺垫. （3）这里的“探究”会让学生感受到进一步探究、学习的必要（8）思考“探究”. 性，为从平均变化率到瞬时变化率（即导数）做好准备，为建立导数概念营造了一个良好的问题情境. （4）让学生就此探究进行思考、展开讨论，激发他们的认知需求，自然地进入导数概念的学习. （1）函数的平均变化率既是本节难点，也（9）引出函数平是重点.要详细给学均变化率的概生分析；

念．找出求函数平（2）让学生在经历从均变化率的步骤. 实例到抽象概括出变化率的过程中，感受

学生计算，交流计算结果，并讨论结果代表的意思．

2 （1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；

（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上. （3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；

7.5 （1）

师生一起讨论、分析，得出结果；

（2）

计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变3 - 4 -

数学的思想，认识数学的本质，主动参与数学教学活动的基本理念.

（3）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法.

（1）要增加一些实例，丰富导数概念的实际背景，让学生加深印象. （2）学生初次接触平均变化率及其符号表示，多举例子让学生巩固对这个概念的理解. 化率f(x2)f(x1)f. xx2x1（3）

注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②x2= x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1；

（10）补充实例1～４，练习

（１）老师板书一个例１过程；

（２）请个别学生出黑板写

12 过程

（３）老师讲评．

（12）让学生进行课堂小结. （1）要提问学生，让学生学会自主小结，自主学习. （2）最后老师加以补充与完善. （1）

随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，即随着气球体积的增大，比值气球膨胀率越来越小；

（2）

平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态；

（3）

函数的平均变化率的概念f(x2)f(x1)f；

xx2x1（4）

求函数的平均变化率的步骤；

（5）

课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？

（6）

思考问题方法：从实际生活到数学语言，数学概念．

2.5 （13）作业：①看书，复习今天内容；②思考问题：如何能更精细地刻画运动员的运动状态？需要增加什么量？③做书P86A1；④预习下节内容.

（1）当天知识，当天消化，是很重要的，故要求学生当天做好复习；

（2）预习新内容同样是学习的一个重要环节. 学生课后完成. 0.5 - 5 -

补充实例

例１

在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

例２

情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 时间

日最高气温

3月18日

3.5℃

4月18日

18.6℃

4月20日

33.4℃

观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：

温度T (℃)

C (34, 33.4)

30

20

10

A (1, 3.5)

2

0

2

10

20

30

34

时间t（d）

B (32, 18.6)

思考

1：“气温陡增”是一句生活用语，若从数学角度描述，那该如何描述？

2：如何从数学角度说明曲线上升的陡峭程度？

例３

水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积

V(t)=5×2-0.1t（单位：cm），计算第一个10s内V的平均变化率．

例4

已知函数f(x)x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

甲

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，1.1]；

（4）[1，1.001].

练习

1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月，从第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．

3乙

- 6 -

W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 3 6 9 12 T(月)

2、已知函数f（x）=2x+1，g（x）=—2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f（x）及g（x）的平均变化率．

思考：y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？

八.

教学反思

1.

按照教参上的意思，约用1~2节课完成变化率的讲授，但我觉得我们学校应该可以用1节课完成，所以我是用1节课完成的，实际上能按计划完成. 2.

在阅读教参时，感觉到高台跳水模型的重要性，故我设想了一个高台跳水模型——就是从凳子上跳下来了．从学生反映来说，效果是可以的，而且还有学生说，让他们吹气球做法好. 3.

导数确实是个很重要的工具，所以与导数概念教学有关的平均变化率问题讲授显得很重要.

- 7 -