1.2.1 充分条件与必要条件特级教师教学实录

§1.2

充分条件与必要条件

1.2.1

充分条件与必要条件

学习目标

1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．

知识点一

充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

知识点二

充分条件、必要条件与集合的关系

思考

“x<2”是“x<3”的__________条件，“x<3”是“x<2”的__________条件．

答案

充分

必要

梳理

A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A⊆B

p是q的充分条件

q是p的必要条件

q是p的充分条件

p是q的必要条件

若“p，则q”为真命题

“若p，则q”为假命题

p⇒q p是q的充分条件

q是p的必要条件

p⇏q

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

A⊈B

p是q的不充分条件

q是p的不必要条件

q是p的不充分条件

p是q的不必要条件

B⊆A

B⊈A

特别提醒：(1)p⇒q，q⇏p，p是q的充分不必要条件；

(2)p⇏q，q⇒p，p是q的必要不充分条件；

(3)p⇏q，q⇏p，p是q的既不充分也不必要条件．

1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(

×

) 2．若q是p的必要条件，则p是q的充分条件(

√

) 3．“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件．(

√

) 4．若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．(

√

)

类型一

充分条件与必要条件的概念

例1

(1)判断下列说法中，p是q的充分条件的是____________________________________．

①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；

②已知α，β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：a与b无公共点，q：α∥β；

③设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”．

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

充分条件的判断

答案

①

解析

对①，p⇒q；②p⇏

q；③p⇏

q，故填①. (2)下列各题中，p是q的必要条件的是________．

①p：x2>2 016，q：x2>2 015；

②p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，q：0

③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：log2a>log2b>0. 考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

必要条件的判断

答案

②③

解析

①q⇏p；②p：0≤a<1，故q⇒p；

③log2a>log2b>0⇒a>b>1，

∴q⇒p，故填②③. 引申探究

例1(1)中p是q的必要条件的是________．

答案

①②

解析

①x2－2x＋1＝0⇒x＝1，即q⇒p；

α∥β，②a⊂α，⇒a与b无公共点，即q⇒p；

b⊂β③q⇏p．故填①②. 反思与感悟

充分条件、必要条件的两种判断方法

(1)定义法

①确定谁是条件，谁是结论；

②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；

③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．

(2)命题判断法

①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．

跟踪训练1

(1)a>b的一个充分不必要条件是(

) A．a2>b2

11C.<

abB．|a|>|b| D．a－b>1 考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

充分不必要条件的判定

答案

D 解析

a－b>1⇒a－b>0而a－b>0⇏a－b>1，故选D. (2)如果命题“若p，则q”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则p是q的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”) 考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

必要不充分条件的判定

答案

必要不充分

解析

由逆命题与否命题是等价命题知q⇒p，

由原命题与逆否命题的等价性得p⇏q，

故p是q的必要不充分条件．

类型二

充分条件与必要条件的应用

例2

已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

由充分条件、必要条件求参数的范围

解

由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a

所以p：3a

由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，

所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为綈q⇒綈p，所以p⇒q，所以A⊆B，

3a≥－2，所以a≤3，a<0，

2解得－≤a<0，

32－，0. 所以实数a的取值范围是3引申探究

本例中条件“a<0”改为“a>0”，若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．

解

由x2－4ax＋3a2<0且a>0，得a

所以p：a

即集合A＝{x|a

由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，

所以q：－2≤x≤3，

即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为綈p⇒綈q，所以q⇒p，所以B⊆A，

3a>3，所以a<－2，a>0，

解得a∈∅. 反思与感悟

(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则AB. (2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．

跟踪训练2

已知p：x<－2或x>10，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的必要条件，求负实数a的取值范围．

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

由充分条件、必要条件求参数的范围

解

∵a<0，解不等式得q：x<1＋a或x>1－a，

∵p是q的必要条件，∴q⇒p，

1＋a≤－2，∴1－a≥10，a<0，

解得a≤－9. 故负实数a的取值范围是(－∞，－9].

1．“x>0”是“x≠0”的(

) A．充分不必要条件

C．充分条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

充分不必要条件的判定

答案

A 解析

∵x>0⇒x≠0，而x≠0⇏x>0，

∴x>0是x≠0的充分不必要条件．

2．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的(

) A．充分条件

B．必要条件

C．既不是充分条件，又不是必要条件

D．无法判断

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

充分条件的判断

答案

A 解析

∵a∥b，∴(x－1)(x＋1)－8＝0，

解得x＝±3，

∴x＝3是a∥b的充分条件．

3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(

) A．充分条件

B．必要条件

C．既不是充分条件也不是必要条件

D．无法判断

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

充分条件的判断

答案

A 解析

当a＝1时，|a|＝1成立，

但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．

∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．

4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：

(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________．

(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

充分条件的判断

答案

(1)必要条件

(2)充分条件

5．是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p的取值范围，否则，说明理由．

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

由充分条件、必要条件求参数的范围

解

由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1. 令A＝{x|x>2或x<－1}，

px<－由4x＋p<0，得B＝x4. 

p由题意得B⊆A，即－≤－1，即p≥4，

4p此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，

4∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的一个充分条件．

1．充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法：直接利用定义进行判断．

(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．

(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件；若A＝B，则p既是q的充分条件又是q的必要条件．

2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.

一、选择题

1．“x为无理数”是“x2为无理数”的(

) A．充分不必要条件

C．充分条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

必要不充分条件的判定

答案

B 解析

当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．

2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的(

) A．充分不必要条件

C．充分条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

必要不充分条件的判定

答案

B 3．“x>0”是“x2＋x>0”的(

) A．充分不必要条件

C．必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

充分不必要条件的判定

答案

A 解析

由x2＋x>0⇔x<－1或x>0，知A符合要求．

4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(

) A．充分不必要条件

C．必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

充分不必要条件的判定

答案

A 解析

k＝1⇒圆心到直线x－y＋k＝0的距离d＝1<1，即相交，

2而直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交D⇏k＝1，故选A.

5．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是(

) A．x＞4

C．x＞3

B．x＜4 D．x＜3 考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

必要不充分条件的判定

答案

C 6．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的(

) A．充分条件

B．必要条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

必要条件的判断

答案

B 解析

原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q⇒p，所以p是q的必要条件．

7．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝A．充分不必要条件

C．必要条件

3，则p是q的(

) 2B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

充分不必要条件的判定

答案

A 解析

因为sin 60°＝8．给出三个条件：

①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2. 其中能成为x>y的充分条件的是(

) A．①②③

C．③

B．②③

D．①

33，故p⇒q，但sin A＝时，A＝60°或120°. 22考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

充分条件的判断

答案

D 解析

①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故①对；

②当t>0时，则x>y，当t<0时，则x

③由x2>y2，得x>y或x

x－19．集合A＝x<0，B＝{x|－a

实数b的取值范围是(

) A．[－2,0)

C．(－2,2)

B．(0,2] D．[－2,2] 考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

由充分条件、必要条件求参数的范围

答案

C 解析

A＝{x|(x＋1)(x－1)<0}＝{x|－1

B＝{x|b－a

因为a＝1，所以B＝{x|b－1

若A∩B＝∅，则b＋1≤－1或b－1≥1，

即b≤－2或b≥2，

所以A∩B≠∅时，－2

10．设A，B是非空集合，则“A∩B＝A”是“A＝B”的______条件．(填“充分”“必要”) 考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

必要条件的判断

答案

必要

解析

由A＝B⇒A∩B＝A，A∩B＝A⇏A＝B，

可知“A∩B＝A”是“A＝B”的必要条件．

11．下列说法正确的是________．(填序号) ①“x>0”是“x>1”的必要条件；

②已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件；

③“a3>b3”是“a>b”的必要条件；

④在△ABC中，“a>b”不是“A>B”的充分条件．

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

必要条件的判断

答案

①③

解析

①中，当x>1时，有x>0，所以①正确；

②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；

③a>b能推出a3>b3，即a3>b3是a>b的必要条件，所以③正确；

④中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以④不正确．

12．命题p：|x|0)，命题q：x2－x－6<0，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________，若p是q的必要条件，则a的取值范围是________．

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

由充分条件、必要条件求参数的范围

答案

(0,2]

[3，＋∞) 解析

p：－a

若p是q的充分条件，则(－a，a)⊆(－2,3)，

－a≥－2，∴∴a≤2，

a≤3，

又a>0，∴a的取值范围是(0,2]．

若p是q的必要条件，

则(－2,3)⊆(－a，a)，

－a≤－2，∴∴a≥3，

a≥3，∴a的取值范围是[3，＋∞)．

三、解答题

13．已知p：x2－2x－3<0，若－ab恒成立的实数b的取值范围．

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

由充分条件、必要条件求参数的范围

解

由于p：x2－2x－3<0⇔－1

－a0)．

依题意，得{x|－10)，

1－a≤－1，所以1＋a≥3，

a>0.解得a≥2，

则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2，

即(－∞，2)．

四、探究与拓展

14．若“a≥b⇒c>d”和“a

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

充分条件的判断

答案

充分

解析

因为“a≥b⇒c>d”为真，

所以它的逆否命题“c≤d⇒a

又“a

所以“c≤d⇒a

故“c≤d”是“e≤f”的充分条件．

15．已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0. (1)若命题p为真，求实数t的取值范围；

(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

由充分条件、必要条件求参数的范围

解

(1)因为命题p为真，则－2t2＋7t－5>0，

5解得1

251，. 所以实数t的取值范围是2(2)因为命题p是q的充分条件，

5是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0的解集的子集，

1

因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0的两根为1和a＋2，

51所以只需a＋2≥，解得a≥，

221，＋∞. 即实数a的取值范围为2