3.1.1 变化率问题教学目标

3．1．1变化率问题

唐山五中

赵欣

教材: 普通高中课程标准实验教科书(人教版

选修)《数学1-1》

教学目标: （一）知识与技能

1．了解微积分的概况，理解平均变化率的概念和几何意义，掌握求平均变化率的一般方法．

2．引导学生通过探究高台跳水和吹气球这两个问题，寻找问题中的共性，从而抽象概括出解决这类问题的一般方法，进一步体会数学由特殊到一般和用已知探究未知的思想方法．

（二）过程与方法

通过直观观察，抽象概括，理论验证，研究变化率问题，培养学生的自主学习能力，发展学生的抽象概括能力及逻辑推理能力．

（三）情感、态度与价值观

培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在了解微积分的发展史和体验数学知识生成的过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好习惯，以及坚持不懈、勇于创新的精神品质．

教学重点：

理解平均变化率的概念和几何意义．

教学难点:

气球膨胀实验的数学描述．

教学方法: 师生共同探究、交流．

教学手段: 多媒体演示．

教学过程:

创

设

问

题

情

境

设

计

方

案

情境：

介绍微积分的发展简史

在十六世纪，曾经有四类问题困扰着科学家，

设

计

意

图

这是一节章头课，通过介它们分别是如何求物体的瞬时速度；如何求曲线的绍知识的背景，让学生了解知切线；如何求函数的最值；如何求曲线长度，曲线识从哪里来，研究的是什么，围成的面积和曲面围成的体积等．

未来的发展方向在什么地直到十七世纪中叶，伟大的数学家牛顿和莱布方．同时，对关键人物的事迹尼兹发现了其中的内在联系，各自独立地创立了微介绍，也能让学生体会到伟人积分，找到了解决这四类问题的一般方法．

的伟大之处在于他们思维的高本章要研究的导数，就是微积分的核心概念之度，这其中暗含了由特殊到一一，它是研究函数增减、变化快慢、最值等问题的般的思想．

最一般，最有效的工具．

下面我们通过两个变化率问题，去研究函数变

化得快慢．

解释封面插图，同时引出

自

主

探

究

与

辨

析

研

讨

问题1：高台跳水

高台跳水运动员距水面的高度h(单位：米)与起问题．

跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系

这个问题学生较易回答.

通过解答让学生了解平均速度实际上是位移变化量和时间变化量的比，它反映了运动物体在一段时间内运动变化得快慢．

h(t)4.9t26.5t10

若可以用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么

①在0秒到0.5秒时间段内的运动状态怎样? ②在1秒到2秒时间段内呢? ③在t1到t2秒时间段内呢？

根据学生分析得出h(t2)h(t1)h，可简写为,tt2t1强调h和t分别是整体符号，与h和t不是乘积关系，它们分别表示高度的变化量和时间的变化量. 通过它们的比，我们可以了解运动员在单位时间内运动变化得快慢．从数学的角度看，平均速度就是函数值的变化量与对应自变量的变化量的比值

自

主

探

究

与

辨

析

研

讨

设

计

方

案

与它类似的例子生活中还有很多，我们来看下设

计

意

图

面这个实验．

用打气筒打气球，若每次都打入相同体积的气体，第一次打入一升，第二次再打入一升，第三次

再打入一升，比较各次打气后的气球，你观察到了

什么现象？

学生自主探究与辨析研讨，发现“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加地越来越慢.”

问题2：你能否构建一个函数模型，描述这种现象吗？

修改教材中的问法，帮助学生理解现象的实质，从而使学生自主探究与辨析研讨，在此基础上，给出学生在用数学角度描述现象平均膨胀率的概念. 我们把体积作为自变量，半径作为函数值，半径的变化量和体积的变化量的比值恰好反映了气球变化得快慢，这个比我们叫做平均膨胀率. 计算下面两个问题：

时，能更准确的找到切入点

①当空气容量V从0L增加到1L时的气球的平均膨胀率；

简单辨析数值含义，加深②当空气容量V从1L增加到2L时的气球的平均理解．

膨胀率. 思考：

当空气容量V从V1L增加到V2L时，气球的平均膨胀率是多少？

根据学生得出的式子

rv2rv1，与前面得到的v2v1强调该式是研究函数变化快慢的量. 式子h(t2)h(t1)进行对比，引导学生找它们的相同之

t2t1

要引导学生将现象转化为变量之间的函数关系．

处，概括出平均变化率定义. fx2fx1我们把称为函数yfx从x1到

x2x1

自

主

探

究

与

辨

析

研

讨

反

思

探

究

设

计

方

案

设

计

意

图

x2的平均变化率，可以简写为强调：

y. x①

它是反映函数变化快慢的量；

②

y,x分别表示一个整体；

③

f(x1x)f(x1)y也可写为. xx

从“形”与“数”上对平均变化率进行了全面的分析，便于学生理解实质.

思考：

观察函数yf(x)的图像，平均变化率

yfx2fx1=表示什么？

xx2x1学生辨析后可得出：

y还可表示为曲线上过(x1,f(x1))、(x2,f(x2))

x两点的连线的斜率，指出这就是平均变化率的几何意义. 让学生回顾这节课给你留下印象比较深的是什么？

回到高台跳水的问题，思考下面两个问题：

65计算运动员在0t这段时间里的平均速49

为下节课的学习做铺垫，以激发学生的学习兴趣. 度，并思考下面的问题：

①

运动员在这段时间里是静止的吗？

②

你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

针对这个问题，在下节的内容中，我们将会得到圆满的答案.

作

业

设

计

方

案

课后探究：

(1)搜集微积分的发展史资料；

(2)生活中的变化率问题的例子；

(3)物理中如何求瞬时速度.

设

计

意

图

板书设计:

课

题

定

义

问题1结论

问题2结论

学

生

板

书

区

几

何

意

义