1.2.1 充分条件与必要条件优秀教案

1.2.1

充分条件与必要条件

供稿人：李潜 审稿人：王文涛 时间：2013.10.31 【教学目标】理解必要条件和充分条件的意义；2.会判断p是q的充分条件和p是q的必要条件. 【重点和难点】1.重点：理解充分条件和必要条件的概念.2.难点：理解必要条件的概念. 【教学过程】（预习《选修1-1》P9~P10）

一、课前准备

1.请同学们画出四种命题的相互关系图. 2.四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 . 3.写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：

（1）若a0时，则函数yaxb的值随x的值的增加而增加；

（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

二、新知导学

1、创设情境，引出研究的问题

问题1：（1）命题“若xa2b2，则x2ab”. ①该命题是“若p，则q”的形式，其中p： ，q： ； ②判断该命题的真假 ；

（2）命题“若ab0,则a0”

①该命题是“若p，则q”的形式，其中p： ，q： ； ②判断该命题的真假 ；

2、引导探究、获得新知

探究：命题（1）是真命题，是指由p通过推理可以得出q，记作：pq（即xa2b2x2ab），读

作：由p可推出q. 命题（2）是假命题，是指由p通过推理不可以得出q，记作：pq（即ab0a0），读作：由p

推不出q.

新知1：一般地，“若p，则q”为真命题，我们就说,由p可推出q,记作pq；“若p，则q”为假命题，我们就说,由p推不出q.,记作：pq. 概念辨析1：用符号“”与“”填空：

（1）x2y2 xy；（2）内错角相等 两直线平行；

（3）整数a能被6整除 a的个位数字为偶数；（4）acbc ab. （5）ab lnalnb；（6）x1(y2)20 xy1.

新知2：（1）“若p，则q”为真命题，即pq，我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）“若p，则q”为假命题，即pq，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.

概念辨析2：下列各题中，哪些p是q的充分条件，q是p的必要条件？哪些p不是q的充分条件，q不是p的必要条件？

（1）若x1，则x210； （2）若xa2b2，则x2ab；

（3）若ab0,则a0； （4）若两个三角形相似，则这两个三角形全等. 应用举例

例1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x1，则x24x30；（2）若f(x)x，则f(x)在(,)上为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数；（4）若x2，则x22x. 分析：若pq，则p是q的充分条件.

解： 反思：（1）判断命题的真假是解题的关键；（2）小范围可以推出大范围. 变式练习：下列“若P，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（2）若x5，则x10. （3）若A30，则sinA12；（4）若m0，则方程x2xm0有实数根. 例2.

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p必要条件？

（1）若xy，则x2y2；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若ab，则acbc. 分析：若pq，则q是p的必要条件. 解： 反思：

变式练习：下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？

（1）若a5是无理数，则a是无理数；（2）若(xa)(xb)0，则xa. 例3.判断下列命题的真假：

（1）“x是6的倍数”是“x是2的倍数”的充分条件；（2）“x5”是“x3”的必要条件. 分析：判断“p是q的什么条件”时，首先要弄清哪个是条件p，哪个是结论q？若pq，则p是q的充分条件；若qp，则p是q的必要条件. 解： 反思：

变式练习：判断下列命题的真假：

（1）x2是x24x40的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；（3）sinsin是的充分条件；（4）ab0是a0的充分条件. 【随堂练习】

1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）

A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直

2.（1）p:x20,q：(x2)(x3)0，p是q的 条件. （填“充分”或“必要”）

（2）“b2ac”是“a,b,c成等比数列”的 条件.（填“充分”或“必要”）

3.“xy,xy0”是“11xy”的充分条件还是必要条件？请说明理由. 三、小结:充分条件与必要条件的理解. 四、作业：1. 判断下列命题的真假

（1）acbc”是“ab”的充分条件；（2）“acbc”是“ab”的必要条件；“

（3）“ab”是“a2b2”的充分条件；（4）“|a|||b”是“a2b2”的必要条件. 2.已知p:2xa0,q:x22x30，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 【课后巩固】

1.平面//平面的一个充分条件是（ ）. A.存在一条直线a,a//,a// B.存在一条直线a,a,a//

C.存在两条平行直线a,b,a,b,a//,b// D.存在两条异面直线a,b,a,b,a//,b//

2.设集合Mx0x3,Nx0x2.那么“aM”是“aN”的 条件.（填“充分”或“必要”）

3.已知集合Ax(x2)x(3a1)0,Bx2axa21.（1）当a2时，求AB；（2）当a13时，若元素xA是xB的必要条件，求实数a的取值范围.

【我的收获】（学生学后记、教师教后记）

1

1.2.2 充要条件（第1课时）

供稿人：李潜 审稿人：王文涛 时间：2013.11.4 【教学目标】1. 理解充要条件的概念；2. 掌握充分、必要条件的判断方法. 【重点和难点】1.重点：充要条件概念的理解. 2.难点：对充分、必要条件的判断. 【教学过程】（预习《选修1-1》P11一、课前准备

1.一般地，“若(3) (4) p: b24ac0(a0) , q:ax2bxc0(a0)；

p: x1是方程ax2bxc0的根，q:abc0；

（5）p:x2或y3，q:xy5. 例2.已知~P13）

p:x28x200,q:1mx1m(m0)，若q是p的必要而不充分条件，则m的取“若p，则q”为假命题，我值范围为 .

p，则q”为真命题，我们就说,由p可推出q,记作 ；们就说,由p推不出q,记作 . 分析：当命题中的条件p和结论q可由集合A、B确定时，（1）若p是q的充分不必要条件，即pq且2.（1）“若p，则q”为真命题，即pq，我们就说p是q的 条件，q是p的 条件；（2）“若p，则q”为假命题，即pq，我们就说p不是q的 条件，q不是p的 条件.

3.下列各题中，p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

（1）p:aQ，q:aR； （2）p:x21，q:x1；

（3）p:内错角相等，q:两直线平行； （4）p:ab，q:ab1

二、新知导学

1、创设情境，引出研究的问题

问题1：问题：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2 和3的倍数.那么p是q的什么条件?q

又是p的什么条件? 2、引导探究、获得新知

探究：由p可以推出q吗？此时，p是q的 条件，q是p的 条件；反过来，由q可以推

出p吗？此时，p是q的 条件，q是p的 条件.

新知：一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，

简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q是p的充要条件.概括地说，如果pq，那么

p与q互为充要条件. 概念辨析1：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p是q的充要条件? (1) p: b0 ,q:函数f(x)ax2bxc是偶函数；

(2) p: x0,y0, q:xy0

(3) p: ab

，

q:acbc

反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题. 应用举例

例1.

在下列各题中, p是q的什么条件? （1）p：x2且y3，q：xy5；（2）p：sin0，q：是第一象限角；

（3）p：c0，q：二次函数yax2bxc(a0)的图象过原点. （4）p：ab，q：ab；（5）p：x,y不全为0，q：xy0. 分析：判断“p是q的什么条件”时，首先要弄清哪个是条件p，哪个是结论q？然后考虑由p能否推出q和由q能否推出p，最后回答p是q的什么条件. 解： 反思：（1）从命题的角度来判断“p是q的什么条件”，有四种情况：①若原命题为真，同时逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；②若原命题为假，同时逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；③若原命题和逆命题同为真，则p是q的充要条件；④若原命题和逆命题同为假，则p是q的既充分也不必要条件. （2）对于条件或结论是否定形式的命题，可以转化为逆否命题来判断（命题“若p，则q”与它的逆否命题“若q，则p”等价.）

变式练习：在下列各题中, p是q的什么条件? (1) p:x23x4 , q:x3x4；(2) p: x30, q:(x3)(x4)0；

qp，则有AB；（2）若p是q的必要不充分条件，即pq且qp，则有BA；（3）若p是q的充要条件，即pq，则有AB. 解： 反思：

变式练习：1.若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为 . 2.设命题p：12x1，命题q：(xa)(xa1)0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【随堂练习】

1. 下列命题为真命题的是（ ）. A.ab是a2b2的充分条件 B.|a||b|是a2b2的充要条件

C.x21是x1的充分条件 D.是tantan

的充要条件

2.“直线a与平面内两条直线垂直”是“直线a与平面垂直”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.用“充分条件、必要条件、充要条件”填空. (1)“x3”是“x5”的

；(2)“x3”是“x22x30”的

；

(3)在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 ；

（4）“sin12”是“30”的 . 三、小结:1.充要条件概念的理解.2.充分、必要条件的判断方法：（1）定义法（判断原命题和逆命题的真假）；（2）等价法（对于条件或结论是否定形式的命题，可以转化为逆否命题来判断）；（3）集合法（利用集合间的包含关系来判断）. 四、作业：1.下列各题中，p是q的什么条件？

（1）p：x1，q：x1x1；（2）p：|x2|3，q：1x5

；

（3）p：x2，q：x33x

；（4）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形. 2.已知p：x24x50,q:3ax3a(a0)，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【课后巩固】

1.（2013年高考山东卷（文））给定两个命题p,q,p是q必要而不充分条件，则p是q的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的（

）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知条件p：(x1)(xa)0，条件q：1x2，且p是q的充分但不必要条件，求实数a的取值范围. 【我的收获】（学生学后记、教师教后记）

2

1.2.2 充要条件（第2课时）

供稿人：李潜 审稿人：王文涛 时间：2013.11.5 【教学目标】1.进一步理解充分条件、必要条件、充要条件的概念；2.掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性. 能够对充要性进行证明. 【重点和难点】1.重点：充要条件的证明方法.2.难点：能够对充要性进行证明. 【教学过程】（预习《选修1-1》P11例3.已知：O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证:dr是直线l与O相切的充要条件. 分析：该题中，哪个是条件p，哪个是结论q？证明充分性（pq），就是要证明“若dr，则直线l与相切”，证明必要性（qp），就是要证明“若直线l与解：

反思：

OO相切,则dr”. ~P13）

p是q的 条件，q是p的 条件；（2）变式练习：证明：a2b0是直线ax2y30和直线xby20垂直的充要条件.（提示：分b0和

一、课前准备

1.（1）“若p，则q”为真命题，即pq，我们就说“若b0讨论）

【随堂练习】

1.（2012年高考福建）已知向量ap，则q”为假命题，即pq，我们就说p不是q的 条件，q不是p的 条件；（3）

(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是（ ）

若既有pq，又有qp，即pq，我们就说p是q的 条件，q也是p的 条件

2.（2012高考天津文科5）设xR，则“x12”是“2x2x10”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.设命题“若p，则q”为真，其否命题为假，则q是p的（ ）条件

A.充分但不必要 B.必要但不充分C.充要 D.既不充分也不必要

4.设a,b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“la,lb”是“l”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

二、新知导学

1、创设情境，引出研究的问题

问题1：（1）“c0”是“二次函数yax2bxc(a0)的图象过原点”的 条件；（2）“二次函数yax2bxc(a0)的图象过原点”的充要条件是

；（3）求证：“c0”是“二次函数yax2bxc(a0)的图象过原点”的充要条件. 2、引导探究、获得新知

探究：对于（3），“c0”，“二次函数yax2bxc(a0)的图象过原点”，哪个是条件p，哪个是结论q？

要证“p是q的充要条件”，

既要证明pq（充分性），还要证明qp（必要性）.你能从这两个方面证明“c0”是“二次函数yax2bxc(a0)的图象过原点”的充要条件吗？

反思：（1）求充要条件时，需先寻求让结论成立的等价条件，再从充分性和必要性两个方面进行证明.（2）证明充要条件要注意从“充分性（pq）”与“必要性（qp）”两个方面入手. 应用举例

例1.直线yx2与圆(xa)2(yb)22相切的充要条件为 . 分析：

解： 反思：

变式练习：求圆(xa)2(yb)2r2经过原点的充要条件.

例2.求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0. 分析：该题中，哪个是条件p，哪个是结论q？证明充要条件，既要证明充分性（pq），还要证明必要性（qp）. 解： 反思：

变式练习：求证：一元二次方程ax2bxc0有一个正根和一个负根的充要条件是ac0.

A．x12 B．x1 C．x5 D．x0

2.2x25x30的一个必要不充分条件是（ ）. A.1112x3 B.2x0 C.3x2 D.1x6

3.求关于x的一元二次不等式ax2ax10对于一切实数x都成立的充要条件是0a4.

三、小结:1.求充要条件的方法.2 证明充要条件，既要证明充分性（pq），还要证明必要性（qp）. 四、作业：

1.求不等式ax22x10恒成立的充要条件. 2.求证：ABC是等边三角形的充要条件是a2b2c2abacbc，这里a,b,c是ABC的三边. 【课后巩固】

1.已知直线a,b和平面，则a//b的一个必要不充分条件是（ ）

A.a//,b// B.a,b C.a//,b D.a,b与平面成等角

2.（1）设A、B是两个集合，则AB的一个充分但不必要条件是（ ）

A.ABA B.ABB C.AB D.AB

（2）已知a1,f(x)ax22x，则使f(x)1成立的一个充分不必要条件是（ ）

A.1x0 B.2x1 C.2x0 D.0x1

3.（1）已知x,y是非零实数，且xy，求证：1x1y的充要条件是xy0. （2）试求关于x的方程x2mx3m20的两根均大于1的充要条件.

【我的收获】（学生学后记、教师教后记）

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