3.1.3 导数的几何意义特级教师教学实录

3．1．3 导数的几何意义

【学情分析】：

上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。

【教学目标】：

1.了解曲线的切线的概念

2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．

3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程

【教学重点】：

理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法. 【教学难点】：

发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率. 【教学过程设计】：

设计教学环节

教学活动

意图

圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线

曲线的切线

(1)复习引入

如图，设曲线c是函数yf(x)的图象，点P(x0,y0)是入作曲线

c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的

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为课题引铺垫.

切线

y切线

Ox如图，设曲线c是函数yf(x)的图象，点P(x0,y0)是曲线

c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切

y线

y=f(x)QyPOxM

x

指导2.确定曲线c在点P(x0,y0)处的切线斜率的方法：

（2）讲解因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜学生是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ理解导数的几的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ 的导数何意义

极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极的几限就是切线PQ的斜率tan,即

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何意

limtan=x0f(x0x)f(x)ylim

xx0x义，我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极可以限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰讨论

到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了. 3．说明：(1)y是函数yf(x)对自变量x在x范x围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）及点(x0x,f(x0x)）的割线斜率. lim(2)导数f/(x0)x0f(x0x)f(x0)是函数yf(x)在点xx0的处瞬时变化率，它反映的函数yf(x)在点x0处变化的快慢程度.它的几何意义是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

yf(x0)f/(x0)(xx0)

例1、曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点通过P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程. (3)

讲解解范例

f(x0x)f(x0)limk=

x0x2例y子，y=2x：y=x2+1更深P(1,2)O2入理x解导数的lim

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x0f(1x)f(1)(1x)1(11)limx0xx

(x)22xlimlim(x2)2

x0x0x概念

∴切线的斜率为2. 切线的方程为y－2=2(x－1)，即y=2x.

例2、求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方程. 解lim:k=yy=5x-1y=x3+2x+1x0f(x0x)f(x0)f(1x)f(1)limx0xxP(1,4)

(1x)32(1x)1(13211)limx0xOx

5x3(x)2(x)3limx0xlim[53x(x)2]5

x0

∴切线的方程为y－4=5(x－1)，

即y=5x－1 例3、求曲线f(x)=x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角. 分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tana，求出倾斜角a.

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解：∵tana=limx0f(x0x)f(x0)f(1x)f(1)

limx0xx11(1x)3(1x)25(15)3

lim3x0x1(x)3x1lim[(x)21]1

lim3x03x0x

∵a∈［0，π)，∴a=π. ∴切线的倾斜角为π.

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(4)课堂小

导数的几何意义，怎么求曲线的切线。

结

补充题目:

1．导数f/(x0)的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数f(x)在

处的

即：

２．函数f(x)平均变化率像中画出来。

f(x)

f(x0x)f(x0)的几何意义是什么，请在函数图x

f

(

x

0x)f(x0)1）平均变化率的几

y

x

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何意义：

x0

f(x0)

O

x0

x

3．导数f/(x0)的几何意义是什么？导数f/(x0)的几何意义是

4．在函数h(t)4.9t26.5t10的图像上，（1）用图形来体现导数h/(1)3.3，

并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线h(t)h/(0.5)1.6的几何意义，在t0,t1,t2.

附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？

h

O

t3

t4

t0

t1

t2

t

（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运

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动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）

5．如图表示人体血管中的药物浓度cf(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)

t

0.2

0.4

0. 6

0.8 药物浓度的

瞬时变化率

（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数

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形结合”、“以直代曲”的思想方法。）

(以上几题可以让学生在课堂上完成) 6. 求下列曲线在指定点处的切线斜率. (1)y=－x3+2,

x＝２处

（２）y＝答案：(1)k=－１２，（２）k=－１

7．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程. f(1x)f(1)2(1x)2212解：(1)k=lim

limx0x0xx1，x＝０处．

x14x2(x)2limlim(42x)4

x0x0x∴点A处的切线的斜率为4. (2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－2 8.求曲线y=x2+1在点P(－2，5)处的切线方程. f(2x)f(2)(2x)21(2)21解：k=lim

limx0x0xx4x(x)2limlim(4x)4

x0x0x∴切线方程是y－5=－4(x+2)，即y=－4x－3.

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