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3.1.1 变化率问题课时教学实录｜教案在线预览

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关键词：3.1.1 变化率问题课时教学实录

正文

数学选修1—1教案

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新授课

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3.1.1变化率问题

1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.

平均变化率的概念.

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一、【创设情境】

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数, 随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

2、求曲线的切线;

3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二、新课讲授

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是

如果将半径表示为体积的函数,那么

分析:

(1)当从增加到时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

(2)当从增加到时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度数关系运动状态? 思考计算: 和的平均速度

(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其在这段时间里,

在这段时间里,

探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程: 如图是函数的图像, 结合图形可知,,所以

虽然运动员在这段时间里的平均速度为, 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止, 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. (二)平均变化率概念

1.上述问题中的变化率可用式子表示, 称为函数从到的平均变化率.

2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可

用代替,同样) 则平均变化率为

思考: 观察函数的图象

平均变化率

三、典例分析

例1 已知函数表示什么? 的图象上的一点及

临近一点则

. 解:

∴

例2

求解: 在附近的平均变化率.

所以

所以课堂练习

在附近的平均变化率为

1.质点运动规律为2.物体按照3.过曲线,则在时间中相应的平均速度为

. 附近的平均变化率. 作曲线的割线, 的规律作直线运动,求在上两点和求出当时割线的斜率. 四、【课堂小结】

1.平均变化率的概念. 2.函数在某点处附近的平均变化率.

五、【书面作业】

六、【板书设计】

七、【教后记】

资料摘要

3.1.1 变化率问题课时教学实录