1.1 一元二次方程优质课教案整理

1.1 一元二次方程

陈俊学校 祝文君

教学目标：

1.理解一元二次方程的概念. 2.能把一元二次方程整理成一般形式ax2bxc0（a≠0），确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 教学重、难点：

1.重点：理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 2.难点：理解一元二次方程的概念并会用一般形式中a0这一条件. 教学方法与教学手段：

1.教学方法通过启发、类比

、归纳，发现并总结规律，从而解决问题。

2.教学手段主要采用课件

教学过程：

一、复习引入

下列式子中那些是方程？有一元一次方程吗？

2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x-5<18 师问生答，其余补充，适当板书

二、问题情境

方程是刻画现实世界的一种数学模型，下面的问题你能用方程来表示吗？

(1）正方形桌面的面积是2m2，求它的边长？

(2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。

如果花圃的面积是24 m2，求花圃的长和宽？

(3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平

A均每年增长的百分率是多少？

x(4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。

4A'5如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，

求梯子滑动的距离。

CBB'3（1）和（2）直接指生口答，（3）和（4）引导学生分析后列出方程 X 三、探究学习（一）：一元二次方程的概念、一般形式. 1.这几个方程都是一元一次方程吗？它们与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

222225(1x)7.2(4x)(3x)5x(192x)24

x2引导学生先将方程化成等号右边为0 的形式，第（1）题示范，其余让学生试做。根据变形的方程找出特点再回答，其余学生补充

2.

揭示定义：像这样只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。一般形式是a x2+bx +c=0 (a , b , c为常数, a≠0) x

a x2称为二次项, a 称为二次项系数 bx称为一次项, b称为一次项系数. c称为常数项.（板书）

3.例1：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. （1）3x(x-1)=5(x+2) (2)x(9-x)=4 教师课件示范第（1）题，学生回答。第2小题学生板演，其余练习

说明注意点：（1）系数和项均包含前面的符号. （2）一元二次方程的一般形式不是唯一的，但通常都把二次项的系数化为正数。

四、探究学习（二）理解一元二次方程一般形式中a0这一条件. 1.想一想

为什么一般形式中a x2 +bx+c=0要强调a≠0，b、c 可以为零吗？

学生思考后回答，其余学生补充

a = 0 ， b ≠ 0时

bx＋c = 0 当

2ax＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时

，

2ax＋bx = 0

当 a ≠ 0 ， c = 0时

，

2

ax = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时

，

总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 2.例2 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）

1

A.x220B.3x25xyy20x

C.(x1)(x2)0D.ax2bxc0

学生思考后得出答案，并说明理由

提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 3.例3：a为何值时，方程（a-1）x｜a｜+1－2x=7为一元二次方程？

｜a｜+1师生分析:将方程式转化为一般形式，得（a-1）x－2x-7=0

由一元二次方程的定义得∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，即a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：求一元二次方程中字母值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．

4.变式：方程(2a-4) x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？

（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？

学生思考解答。

5.

小结：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？

师生共同总结

一元一次方程

一元二次方程

一般式

相同点

不同点

五、探究学习（三）：一元二次方程的解

1.使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫根）. 讨论:在-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4这些数中，哪些数是方程x2– x –

6 = 0 的解? 师以0为例验证其是否是该方程的解，然后分男女生验证，再统一意见。

说明：一元二次方程可能不止一个根. 2.例:4：已知a是方程x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 分析：将根代入的关于a的方程，再进一步求解。

方法点拨：求有条件的代数式的值，先把已知解代入方程，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再根据条件用整体思想代入求值．

六、小结：

1、今天学习了那些知识？你有什么收获？（学生说）

2、学习过程中用到了那些思想、方法？类比，分类讨论，整体思想

七、课后作业

1. 下列方程中是一元二次方程的是 （填序号）

(1)3x+2=5x-2

(2)x2=0

(3)(x+3)(2x-4)=x2

23222(5)x=x+x(4)3y=(3y+1)(y-2)

(6)3x=5x-1

2.填空：

方程

一般形式

-1 二次项系数

一次项系数

常数项

x2x2(2x)(3x4)3

3.关于x的方程(k²－1) x²

＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 时，是一元二次方程．

当k 时，是一元一次方程．

4.已知方程2x²+mx-8=0的一个根为4，则ｍ的值为_______．

教学设计说明：

在前面学生已经学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程等等，已经初步地感受了方程的模型作用，并且积累了一些利用方程解决实际问题的一些经验，解决了一些实际问题。本节课要在这基础上，通过实际问题，引导学生认识一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。

为了降低难度，课的开始引导学生复习一元一次方程的概念和一般形式，为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺垫。然后通过实际问题为背景引出一元二次方程及其有关概念，让学生充分感受所列方程的特点，同时又可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的。然后通过练习巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解。

通过学生分组讨论，得到一元二次方程的一般形式，再通过例题加深学生对一般形式的理解。之后给出一元二次方程根的概念，组织学生分析认识一元二次方程的根的不唯一性。最后，对本节课进行总结梳理，让学生对所学知识达到更深刻的认识。