代入法解二元一次方程组优秀公开课教案

7．2 二元一次方程组的解法

第1课时

用代入消元法解二元一次方程组(一) 教学目标

一、基本目标

1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程．

2．使学生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法．

3．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法．

二、重难点目标

【教学重点】

用代入法把二元一次方程组转化为一元一次方程．

【教学难点】

用代入法求出一个未知数值后，把它代入哪个方程求另一个未知数值较简便．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P27～P29的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．

2．把下列方程变形为用含x的代数式表示y的形式．

(1)2x－y＝4；

(2)3x＋y＝17；

11(3)x＋y＝5；

(4)3x＋5y＝0. 42解：(1)y＝2x－4.

(2)y＝17－3x.

1(3)y＝10－x. 23(4)y＝－x. 5环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】用代入法解下列方程组：

x＝3y＋2，①(1)

x＋3y＝8；②2x－y＝4，①(2)

3x＋2y＝13.②

【互动探索】(引发学生思考)解二元一次方程组的思路是什么？什么是代入法？

【解答】(1)将①代入②，得3y＋2＋3y＝8，

解得y＝1. 将y＝1代入①，得x＝3×1＋2＝5. x＝5，所以

y＝1.

(2)由①，得y＝2x－4.③

将③代入②，得3x＋2(2x－4)＝13，

解得x＝3. 将x＝3代入③，得y＝2×3－4＝2. x＝3，所以

y＝2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)代入消元法的主要步骤：①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式；③解这个一元一次方程；④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解．

活动2

巩固练习(学生独学) x＝3y－2，①1．解方程组时，把①代入②，得

(

D

) 2y－5x＝10②

A．2(3y－2)－5x＝10

C．(3y－2)－5x＝10

B．2y－(3y－2)＝10 D．2y－5(3y－2)＝10 x＋y＝10，2．方程组的解是

(

A

) 2x＋y＝16x＝6A.

y＝4x＝3C.

y＝6

x＝5B.

y＝6x＝2D.

y＝8

x＝3＋t，3．已知则用含x的式子表示y为y＝－2x＋9. y＝3－2t，

4．用代入法解下列方程组：

y＝2x－4，(1)

3x＋y＝1；3x＋4y＝19，(2)

x－y＝4.x＝1，解：(1)

y＝－2.x＝5，(2)

y＝1.

活动3

拓展延伸(学生对学) x＝2，ax＋by＝7，【例2】已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为(

) y＝1ax－by＝1

A．1

C．2

B．－1 D．3 2a＋b＝7，a＝2，【互动探索】把解代入原方程组，得解得所以a－b＝－1.故选2a－b＝1，b＝3.

B. 【答案】B 【互动总结】(学生总结，老师点评)解这类题就是根据方程组解的定义求，即将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 1．解二元一次方程组的基本思路是“消元”．

2．代入法解二元一次方程组的主要步骤：①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式；③解这个一元一次方程；④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时

用代入消元法解二元一次方程组(二) 教学目标

一、基本目标

1．使学生进一步理解代人消元法的基本思想和代入法解题的一般步骤．

2．让学生在实践中去体会根据方程组中未知数系数的特点，选择较为合理、简单的表示方法，将一个未知数表示成另一个未知数．

二、重难点目标

【教学重点】

熟练地用代人法解一般形式的二元一次方程组．

【教学难点】

准确地把二元一次方程组转化为一元一次方程．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P29～P30的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．解二元一次方程组的基本思路是“消元”．

2．用代入消元法解下列方程组：

y＝2x－5，(1)

5x＋2y＝8；2x＋3y＝－19，(2)

x＋5y＝1；x＋2y＝4，(3)

2x－y＝3；3x－4y＝19，(4)

x＋2y＝3.x＝2，解：(1)

y＝－1.x＝－14，(2)

y＝3.x＝2，(3)

y＝1.x＝5，(4)

y＝－1.

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学)

【例1】用代入法解下列方程组：

3x－4y＝10，①(1)

4x＋5y＝3；②

2x－3y＝1，①(2)y＋1x＋2

＝.②34【互动探索】(引发学生思考)解二元一次方程组的基本思路是什么？代入法解二元一次方程组的关键是什么？

10＋4y【解答】(1)由①，得x＝.③

310＋4y把③代入②，得4×＋5y＝3，

3解得y＝－1. 把y＝－1代入③，得x＝2. x＝2，所以原方程组的解是

y＝－1.2x－3y＝1，③(2)将原方程组整理，得

4x－3y＝－5.④

3y＋1由③，得x＝.⑤

2把⑤代入④，得2(3y＋1)－3y＝－5，

7解得y＝－. 37把y＝－代入⑤，得x＝－3. 3x＝－3，所以原方程组的解是

7y＝－.3【互动总结】(学生总结，老师点评)用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．

活动2

巩固练习(学生独学) x＋3y＝5，①1．用代入消元法解方程组时，最简单的消元方法是

(

B

) 3x＋4y＝1②

A．根据①用含x的代数式表示出y，并代入②

B．根据①用含y的代数式表示出x，并代入②

C．根据②用含x的代数式表示出y，并代入①

D．根据②用含y的代数式表示出x，并代入①

3x－4y＝9，2．方程组的解为

(

A

) 4x＋5y＝－19x＝－1A.

y＝－3x＝－1C.

y＝3

x＝1B.

y＝－3x＝1D.

y＝3

3．用代入法解下列方程组：

2x＋3y＝－4，(1)

3x＋4y＝－5；

3x＋y5x－1＝，3(2)2

4x－3y＝17.x＝1，解：(1)

y＝－2.x＝5，(2)

y＝1.

活动3

拓展延伸(学生对学) x＋1＝2y，①【例2】解方程组：3

2x＋1－y＝11.②【互动探索】直接利用代入消元法求解较为麻烦，两个方程中都含有(x＋1)，可考虑将(x＋1)整体代入另一个方程中进行求解．

【解答】由①，得x＋1＝6y.③

把③代入②，得2×6y－y＝11，

解得y＝1. x＋1把y＝1代入①，得＝2×1，

3解得x＝5. x＝5，所以原方程组的解为

y＝1.

【互动总结】(学生总结，老师点评)当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分形式相同时，可把这一部分看作一个整体求解．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

若二元一次方程组中所有方程中的未知数的系数都不是1或－1，则选择系数的绝对值较小的方程变形比较简便．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时

用加减消元法解二元一次方程组(一) 教学目标

一、基本目标

1．使学生进一步理解解方程组的消元思想．

2．使学生了解加减法是消元法的又一种基本方法，并会用加减法解一些简单的二元一次方程组．

二、重难点目标

【教学重点】

用加减法解简单的二元一次方程组．

【教学难点】

两个方程相减消元时对减的方程各项符号要做变号处理．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P31～P32的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．通过将两个方程的两边分别相加(或相减)消去一个未知数，把方程组转化为一元一次方程来求解的方法，叫做加减消元法，简称加减法. 2．运用加减消元法解方程组时，首先要观察两个方程中同一个未知数的系数，若系数相等，则将这两个方程相减；若系数互为相反数，则将这两个方程相加. 2x－5y＝7，①3．解二元一次方程组

2x＋3y＝－1.②x＝1，解：

y＝－1.

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】用加减法解下列方程组：

3x－4y＝10，①3x＋7y＝9，①(1)

(2)

3x＋5y＝1；②4x－7y＝5.②

【互动探索】(引发学生思考)解二元一次方程组的基本思路是什么？加减法解二元一次方程组的关键是什么？

【解答】(1)①－②，得－9y＝9，

解得y＝－1. 把y＝－1代入①，得3x－4×(－1)＝10，

解得x＝2. x＝2，所以原方程组的解是

y＝－1.

(2)①＋②，得7x＝14，

解得x＝2. 把x＝2代入①，得3×2＋7y＝9，

3解得y＝. 7x＝2，所以原方程组的解是3

y＝7.【互动总结】(学生总结，老师点评)用加减法解二元一次方程组，关键是观察方程组中相同未知数的系数的特点，若系数相等，则将这两个方程相减；若系数互为相反数，则将这两个方程相加．

活动2

巩固练习(学生独学) 2x－3y＝11，1．用加减法将方程组中的未知数x消去后，得到的方程是

(

D

) 2x＋5y＝－5

A．2y＝6

C．－2y＝6

B．8y＝16 D．－8y＝16 3x－4y＝9，2．方程组的解为

(

A

) 5x＋4y＝－17x＝－1A.

y＝－3x＝－1C.

y＝3

x＝1B.

y＝－3x＝1D.

y＝3

3．用加减法解下列方程组：

2x＋3y＝－4，(1)

4x＋3y＝－2；3x＋5y－20＝0，(2)

4x－5y＝15.

x＝1，解：(1)

y＝－2.x＝5，(2)

y＝1.

活动3

拓展延伸(学生对学) x＋3y＝5，【例2】已知x、y满足方程组求代数式x＋y的值．

3x＋y＝－1，

【互动探索】观察发现，两个方程中未知数的系数刚好对调了，则将两方程相加可得出x＋y的几倍的结果，再除以相应系数即可得出答案．

x＋3y＝5，①【解答】



3x＋y＝－1.②

由①＋②，得4x＋4y＝4.③

由③÷4，得x＋y＝1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 1．加减消元法的概念．

2．运用加减消元法解方程组时，首先要观察两个方程中同一个未知数的系数，若系数相等，则将这两个方程相减；若系数互为相反数，则将这两个方程相加．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第4课时

用加减消元法解二元一次方程组(二) 教学目标

一、基本目标

使学生了解用加减法解二元一次方程组的一般步骤，能熟练地用加减法解较复杂的二元一次方程组．

二、重难点目标

【教学重点】

用加减消元法解一般的二元一次方程组．

【教学难点】

会正确用加减消元法解二元一次方程组．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P33的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．运用加减消元法解方程组时，若系数既不相等，也不互为相反数，则运用等式的性质将同一个未知数的系数化为相等或互为相反数. 2．解下列方程组：

3x＋4y＝3.7，(1)

5x－4y＝5.1；3x－2y＝4，(2)

7x－2y＝12.

x＝1.1，解：(1)

y＝0.1.x＝2，(2)

y＝1.

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】用加减消元法解下列方程组：

4x＋3y＝3，①(1)

3x－2y＝15；②

(2)y－14x＋94＝20－1.②x＋11－0.3y－2＝，①5

【互动探索】(引发学生思考)解二元一次方程组的基本思路是什么？用加减消元法解一般的二元一次方程组的关键是什么？

【解答】(1)由①×2，得8x＋6y＝6.③

由②×3，得9x－6y＝45.④

由③＋④，得17x＝51，

解得x＝3. 把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，

解得y＝－3. x＝3，所以原方程组的解是

y＝－3.

2x＋3y＝14，③(2)先化简方程组，得

4x－5y＝6.④

由③×2，得4x＋6y＝28.⑤

由⑤－④，得11y＝22，

解得y＝2. 把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，

解得x＝4. x＝4，所以原方程组的解是

y＝2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)用加减消元法解一般的二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数；复杂的方程组一定要先化简，再观察思考消元方案．

活动2

巩固练习(学生独学) 2x＋5y＝－10，①1．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是

(

D

) 5x－3y＝6.②

A．要消去y，可以将①×5＋②×2 B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5) C．要消去y，可以将①×5＋②×3 D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2 3x－2y＝3，2．方程组的解为

(

A

) 5x＋4y＝－17x＝－1A.

y＝－3x＝－1C.

y＝35x＋5y＝9，3．已知则x－y等于2. 3x＋7y＝5，

x＝1B.

y＝－3x＝1D.

y＝3

4．用加减法解下列方程组：

2x＋3y＝－11，(1)

－5x＋2y＝－1；3x＋2y－10＝0，(2)

4x－5y＝21；2x＋3y＝－4，(3)

3x＋4y＝－5；

3x＋y5x－1＝，3(4)2

4x－3y＝17.x＝－1，解：(1)

y＝－3.x＝4，(2)

y＝－1.x＝1，(3)

y＝－2.x＝5，(4)

y＝1.

活动3

拓展延伸(学生对学) 2x＋3y＝k－3，①【例2】若二元一次方程组的解互为相反数，求k的值．

x－2y＝2k＋1②

【互动探索】本题中，若想求得方程组中的字母参数k，关键是得到关于k的方程，这个方程怎样得到呢？就是利用方程组的解互为相反数．

【解答】(方法一)①－②×2，得7y＝－3k－5，

3k＋5解得y＝－. 73k＋5把y＝－代入②，

73k＋5得x＋2×＝2k＋1. 78k－3解得x＝. 7∵方程组的解互为相反数，

∴8k－33k＋5－＝0，

778解得k＝. 5(方法二)∵原方程组的解互为相反数，

∴x＋y＝0，

即x＝－y. y＝k－3，将x＝－y代入原方程组，得

－3y＝2k＋1，

则－3k＋9＝2k＋1，

8解得k＝. 5【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是利用方程组的解互为相反数得到关于k的一元一次方程．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 对值相等；二元一②加减消元；次方程组③解一元一次方程；的步骤④求另一个未知数的值得方程组的解解一般的练习设计

请完成本课时对应练习！

用加减法①变形，使某个未知数的系数绝

第5课时

二元一次方程组的实际应用

教学目标

一、基本目标

1．使学生能借助二元一次方程组解决简单的实际问题．

2．在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程解决现实问题的意识和应用能力．

二、重难点目标

【教学重点】

根据题意，列出二元一次方程组．

【教学难点】

正确地找出应用题中的两个等量关系，并把它们列成方程．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P34～P35的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

(1)审：弄清题意和题目中的数量关系，找出问题中的所有等量关系；

(2)设：设元，可以直接设，也可以间接设；

(3)列：根据等量关系列出方程组；

(4)解：解方程组，并检验所得的解是否符合题意；

(5)答：写出答案．

2．老王家去年收入x元，支出y元，而今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，结果今年结余3000元．根据题意可列出的方程为

(

B

) A．15%x－10%y＝3000 B．(1＋15%)x－(1－10%)y＝3000 xxC.－＝3000 1＋15%1－10%D．(1－15%)x－(1＋10%)y＝3000 3．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480名学生刚好住满，设大房间有x个，小房间有y个．下列方程正确的是

(

A

) x＋y＝70A.

8x＋6y＝480x＋y＝480C.

6x＋8y＝70

x＋y＝70B.

6x＋8y＝480x＋y＝480D.

8x＋6y＝70

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】某中学七年级甲、乙两班共有93人，其中参加数学课外兴趣小组的共有27人，11已知甲班有的学生，乙班有的学生参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人？

431【互动探索】(引发学生思考)本题的数量关系：甲班人数＋乙班人数＝93；甲班的学生41人数＋乙班的学生人数＝27. 3【解答】设甲班的人数为x人，乙班的人数为y人．

x＋y＝93，根据题意，得11

x＋y＝27，43x＝48，解得

y＝45.

即甲班的人数为48人，乙班的人数为45人．

【互动总结】(学生总结，老师点评)设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．解这类问题的应用题，要抓住题中反映数量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等，明确各种反映数量关系的关键字的含义．

活动2

巩固练习(学生独学)

1．木工厂有28个工人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10把椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4把椅子配套？

解：设x个工人加工桌子，y个工人加工椅子．

x＋y＝28，x＝10，根据题意，得310解得

y＝18.4×x＝y.23

即10个工人加工桌子，18个工人加工椅子，才能使生产的1张桌子与4把椅子配套．

2．某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，汽车先以60 km/h的速度走平路，后又以30 km/h的速度爬坡，共用了6.5 h；原路返回时，汽车以40 km/h的速度下坡，又以50 km/h的速度走平路，共用了6 h．问平路和坡路各有多远？

解：设平路有x km，坡路有y km. 60＋30＝6.5，根据题意，得xy＋5040＝6，活动3

拓展延伸(学生对学) xy

x＝150，解得

y＝120.

即平路有150 km，坡路有120 km. 【例2】某商场计划用40 000元从厂家购进若干新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．

(1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你研究一下商场的进货方案；

(2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？

【互动探索】根据题意有三种购买方案：①甲、乙；②甲、丙；③乙、丙．然后根据所含等量关系求出每种方案的进货数．

【解答】(1)①若购甲、乙两种型号手机．设购进甲型号手机x1部，乙型号手机y1部．

x1＋y1＝40，根据题意，得

1200x1＋400y1＝40 000.x1＝30，解得

y1＝10.

即购进甲型号手机30部，乙型号手机10部．

②若购甲、丙两种型号手机．设购进甲型号手机x2部，丙型号手机y2部．

x2＋y2＝40，根据题意，得

1200x2＋800y2＝40 000.x2＝20，解得

y2＝20.

即购进甲型号手机20部，丙型号手机20部．

③若购乙、丙两种型号手机．设购进乙型号手机x3部，丙型号手机y3部．

x3＋y3＝40，根据题意，得

400x3＋800y3＝40 000.x3＝－20，解得

y＝60.3

因为x3表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况不合题意，应舍去．

综上所述，商场共有两种进货方案．

方案1：购甲型号手机30部，乙型号手机10部；

方案2：购甲型号手机20部，丙型号手机20部．

(2)方案1获利：120×30＋80×10＝4400(元)，

方案2获利：120×20＋120×20＝4800(元)．

所以购甲型号手机20部，丙型号手机20部获利最多．

【互动总结】(学生总结，老师点评)仔细读题，找出等量关系．当用含未知数的式子表示等量关系时，要注意不同型号的手机数量和单价要对应．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．处理问题的过程可以进一步概括为：

练习设计

请完成本课时对应练习！