正方形教案和课堂实录

9.4正方形的性质

【教学目标] 1、会归纳正方形的特性并进行证明

2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用

4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系

【教学重、难点】

1.经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力

2.有条理地、清晰地阐述自己的观点

【情境创设

】

这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝——一块五色斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。大姐想出了一个好办法：“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好只剪成4块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。”聪明的你能想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？

【合作交流】

探索正方形的性质

（1）边的性质： ；

（2）角的性质： ；

（3）对角线的性质： ；

（4）对称性： 。

【典题选讲】

例1、 已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O；正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’B’交BC于点E，A’D’交CD于点F，E是BC的中点。

（1）求证：F是CD的中点

（2）若正方形A’B’C’D’绕点O任意旋转某个角度后，OE=OF吗？

BECADO (A')FD'分析：（1）方法一∵OB=OC,E是BC的中点

∴OE⊥BC,∠OEC=90°

∵∠EA’F=∠ECF=90°

∴∠OFC=90°

∵OC=OD ∴F是CD的中点

ADB'C'O (A')FBB'ECD'C'方法二 ∵∠EA’F=90°,AC⊥BD

∴∠EOC+∠COF=∠DOF+∠COF=90°

∴∠EOC=∠DOF 又OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°

∴△OCE≌△ODF(ASA)

∴DF=CE=11BC=CD,即F是CD的中点。

22（2）证明方法同前方法二。

由（1）、（2）可以得到什么结论？（无论正方形A’B’C’D’绕点O旋转并与正方形ABCD分别交BC、CD于点E、F，总有OE=OF，BE=CF，EC=FD，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的四分之一等等）

例2、已知，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE﹦∠BAE. 求证：AF﹦BC+FC. 两种添线方法。

A D

F

B C E

例3、（2006年潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30•°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）

A．1333 B． C．1- D．1-

2334

【课堂练习】

1.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）

12n2 cm B．cm441nn12 2C．cmD．() cm

44A．

A2

A1

A3

A4

（第18题）

2、已知正方形ABCD。

（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE＝GH；

（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；

（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。

练习：

3、（2006·济南市）现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是 cm；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？ ．

22cm452cm45452cm2cm4516题图

【学习体会】

正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如下图。（请填写它们之间的关系）

（2）正方形的性质：

①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

⑤正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对

（3）本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。