正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系名师教学设计1

正多边形的概念、正多边形与圆的关系

【教学目标】

知识与技能：1．了解正多边形和圆的有关概念，探索正多边形和圆的关系．

2．会通过等分圆周作正多边形．

过程与方法：通过探索正多边形与圆的关系的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移的能力。

情感态度与价值观：培养学生小组讨论、交流、合作的学习习惯，在分析、解决问题中培养学生学习兴趣,体会成功的喜悦。

【学习重点】

探索正多边形和圆的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。

【学习难点】

探索正多边形和圆的关系。

图片导入

生成问题

下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?

问题：

1．前面我们学习了几种与圆有关的位置关系，同学们想一想是哪几种呢？

2．谁能说说正多边形的定义呢？你能举出一些这样的例子吗？

3．正多边形和圆有什么关系呢？

自学互研

生成能力

讲授新课

一、正多边形的概念及相关计算

观察与思考

问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？

问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？

各边相等，各角也相等

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

问题2 n边形的内角和为多少？正n边形的每个内角的度数如何计算？

o(n2)g180n边形的内角和为：

正n边形的每个内角的度数为：

n2g180on

问题3 n边形的外角和为多少？已知正n边形的内角为a度，如何求n的值？

n边形的外角和为360°

正n边形的内角为a度，则它的外角为(180-a)度，练一练

1.若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的是正____边形. 2.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（

）

A．108° B．90° C．72° D．60°

典例精析

例1 如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．

（1）求证：△ABG≌△BCH；

n360.180a

证明：∵在正六边形ABCDEF中，

AB=BC，∠ABC=∠C=120°. ∵BG=CH，

∴△ABG≌△BCH.

（2）求∠APH的度数．

解：由（1）知，△ABG≌△BCH，

∴∠BAG=∠CBH，

∴∠BPG=∠ABG=120°，

∴∠APH=∠BPG=120°．

二、正多边形与圆的关系

探究：

你知道正多边形与圆的关系吗？

正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.

问题

：

把☉O进行5等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE .分别过点A，B，C，D，E作☉O的切线，切线交于点P，Q，R，S，T，依次连接各交点，得到五边形PQRST.五边形ABCDE及五边形PQRST是正多边形吗？

探究1 五边形ABCDE是正五边形吗？简单说说理由.

归纳总结

把圆分成n（n＞2）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的一个内接正n边形.

探究2 五边形PQRST是正五边形吗？简单说说理由. 五边形ABCDE是☉O的内接正五边形.连接OA，OB，OC.则

∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，

∵ TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的☉O的切线，

∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ，

∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB 又∵AB=BC，

∴

△PAB≌△QBC，

∴

∠P=∠Q，PQ=2PA. 同理，得

∠Q=∠R=∠S=∠T，

QR=RS=ST=TP=2PA. ∵五边形PQRST的各边与☉O相切，

∴五边形PQRST是☉O的外切正五边形.

归纳总结

把圆分成n（n＞2）等份，依次连接过等分点作圆的切线，各切线相交所得的多边形就是这个圆的一个外切正n边形.

例2 利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形.

解：内接正方形的做法：

（1）用直尺作圆的一条直径AC；

（2）作与AC垂直的直径BD；

（3）顺次连接所得的圆上四点.

四边形ABCD即为所求作的正方形.

延伸：再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边型等. 方法归纳：用等分圆周的方法作正多边形：①用量角

器等分圆周；②用尺规等分圆周(特殊正n边形).

例3 如图，⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连接FC，若正方形边长为1，求弦FC的长．

练习：

1.如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（

）

A．6 B．11 C．12 D．18 2.如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中∠1的大小为_____.

3.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为________.

4.如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小．

5.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．

【自主探究】

课堂小结：

1.

正多边形的概念

2.

正多边形与圆的关系

作业：课本104页第4题

））