测试课堂实录【1】

课题：二次函数背景下形成三角形面积问题

中山市西区中学 邢海秋

【教学目标】

1.掌握二次函数解析式的求法；能够利用点的坐标正确表示线段的长度；会计算一边在坐标轴（或平行坐标轴）上的三角形的面积；能够利用割补法、坐标法求一般三角形的面积，会把一般三角形转化为一边在坐标轴（或平行坐标轴）的三角形求面积。

2.能够根据二次函数中不同三角形的特点，选择合适的方法表示出三角形面积，体会数形结合和转化思想在二次函数中的应用。

3.利用所求三角形与已知三角形面积的数量关系，得到相关的线段长，利用函数方法求出符合条件的点的坐标，体会函数与方程思想的应用。

【学情分析】

学生在九年级上册已经学习了《二次函数》整章知识，在经历了中考第一轮的章节复习后，已经理解并掌握了二次函数的图像和基本性质，会用待定系数法求二次函数的解析式，

【教学重点】用坐标法求解二次函数背景下的三角形面积。

【教学难点】用坐标法求解二次函数背景下三角形面积的最值。

【教学用具】多媒体、三角板、直尺。

【教学流程】

由浅入深，夯实基础

深化演绎，串联知识

提炼方法，积累经验

同类链接，反馈效果

构建网络，梳理知识

【教学过程】

一、

由浅入深，夯实基础

已知抛物线经过点A（-1，0），C（0，-3），且其对称轴为x=1。

（1）

求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与x轴的另一个交点为B，

顶点为P, 求点B、P的坐标；

（3）求线段AB、OC的长度；

求解析式、点坐标、线段长、一边在坐标轴（平行坐标轴）三角形面积

利用三角形面积求解点的存在问题、求三边都不在坐标轴上的三角形面积

求解三边都不在坐标轴上且有一个点为抛物线上动点的三角形面同类知识应用，检测学习效果

一题多解

利用思维导图，呈现解题思路，渗透思想方法

师生活动：教师引导学生回忆用待定系数法求抛物线解析式的几种常见形式，顺势提出问题：如何求点的坐标，如何求线段长度。

设计意图：利用具体问题复习求解二次函数的解析式的三种方法，通过相关点的坐标，得出相关线段的长度，特别注意处理点的坐标与线段长度之间的关系，为后续求面积做好铺垫。

（4）求△CDP、△ABC的面积；

师生活动：

教师给学生足够时间在学案上完成，两分钟后没有思路的学生可以小组讨论。

设计意图：通过求几个三角形的面积，总结出有一边在坐标轴上（或平行坐标轴）的三角形面积的求法：把坐标轴上(或平行坐标轴)的边作为底，第三个顶点到这个底边的距离作为高，直接计算面积。总结解题方法。

二、深化演绎，串联知识

（5）抛物线上是否存在一点Q（Q不与C重合），使得△ABC的面积等于△ABQ的面积，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

yAOCPBx

师生活动：

教师提出问题，学生小组讨论后再书写过程。

设计意图：引导学生利用“平行线之间的距离相等”或计算三角形面积，求出符合条件的三角形的高，找出适合条件的函数值y，利用分类讨论思想，求出所有符合条件的点Q坐标。把函数与方程有机的联系在一起，渗透了函数与方程的思想。

（6）求△BCP的面积；

yAOCPBx

师生活动：教师提出问题，引导学生用多种方法表示三角形的面积，学生讨论交流，并讲解。

设计意图：通过添加辅助线，利用割补法把三边都不在坐标轴（或都不平行于坐标轴）的三角形面积转化为几个基本图形面积的和差；利用坐标法把三角形转化为有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积求解。此处采用多种方法解决问题，意在开拓学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时也为下面探究动点问题做铺垫。

三、提炼方法，积累经验

（7）抛物线在第四象限上是否存在一动点E，使

△BCE的面积最大？若存在，求出△BCE面积的最大值和此时的点E的坐标；若不存在，请说明理由. yAOCPEBx

师生活动：教师顺势提出抛物线上动点问题，给学生时间讨论，并独立完成解题过程。

设计意图：在动点背景下构造三边都不在坐标轴上（或三边都不平行于坐标轴）的三角形面积的模型，引导学生选择适合的方法（坐标法）表示出三角形的面积，并求其最大值，渗透建模思想。此处构建出以点E的坐标表示三角形面积的函数，并利用二次函数的最值求出三角形面积的最大值，让学生充分体会了函数思想。

四、同类链接，反馈效果

(8)若直线y=x-1与抛物线交于点M、N，点R是直线y=x-1的下方抛物线上的一动点，点R的横坐标为a，△MNR的面积为S, 求△MNR面积S与a的函数关系式。

yy = x2

2∙x

3y = x + 1NMAOCBx

师生活动：教师出示同类题目，给学生时间独立思考，然后口述解题方法。

设计意图：

一次函数与二次函数综合运用，培养学生运用方程思想求点的坐标；引导学生运用坐标法表示三角形面积，力求达到同类链接、反馈提高的效果。

五、构建网络，梳理知识

1.本节课你学到了什么知识？

2.你是利用什么方法解决问题的？

3.你用到了什么数学思想？

4.你能用思维导图表示出来吗？

师生活动：教师引导学生回忆本节课所学知识，让学生独立口述，教师补充。

设计意图：四个问题的呈现，引导学生回顾解决问题的方法及策略，让学生小结，教师总结，培养学生归纳能力与口语表达能力。利用思维导图清晰的表述出本节的解题思想与方法，帮助学生理清知识的来龙去脉，培养学生的解决问题的能力。 六、布置作业，课后检测

如图，抛物线

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. （1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求D点的坐标. （3）抛物线在第二象限上是否存在一动点E，使

△CAE的面积最大？若存在，求出△CAE面积的最大值和此时的点E的坐标；若不存在，请说明理由. 师生活动：在学案中出示中考题，让学生课后完成，并书写规范过程。

设计意图：此题设置的三个问题更能全面检测本节所学知识，即三角形面积的表示方法，点的存在问题以及在动点的背景下求三角形面积的最大值。让学生通过本节所学知识，独立完成此题，培养学生的迁移能力。

AOyCBx