2.2.1 椭圆的标准方程公开课教学设计模版

课标导向下高中学数学

圆锥曲线和方程

单元教学设计

单元名称：圆锥曲线和方程

姓名

学科年级

单元学习概述

圆锥曲线是一个重要的数学模型，它具有很多非常好的几何性质，在日常生活、社会生产及科学技术中都有着重要而广泛的应用。

对圆锥曲线的研究起源于希腊，在17世纪笛卡尔、费马等人发明了解析几何后，人们在研究圆锥曲线时有了更强有力的工具，在数学2中，我们运用方程研究了直线与圆的有关性质，本章将在建立圆锥曲线的方程的基础上，研究圆锥曲线的几何性质。

窦慧敏

高二

工作单位

教材版本

江苏省江都中学

苏教版

单元教学目标

通过对平面截圆锥面所得图形的分析，了解椭圆、双曲线和抛物线的定义，建立椭圆、双曲线、抛物线的方程，运用方程分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，再通过对三种圆锥曲线共同特征的研究建立了统一的定义。在此过程中，建立曲线方程的概念，并运用曲线方程研究曲线交点等问题，掌握解析几何的基本思想。

课时划分

2.1 圆锥曲线 约1课时

2.2 椭圆 约4课时

2.3 双曲线 约3课时

2.4 抛物线 约3课时

2.5 圆锥曲线的统一定义 约1课时

2.6 曲线和方程 约2课时

小结和复习 约2课时

各课时的联系

第一节通过平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得到椭圆、双曲线和抛物线的概念。使学生经历概念的形成过程，更有利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。这是建立在学生最近发展区上的形成化过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数学素养。

从第二节到第四节通过建立曲线的方程，分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质，考虑到教学时间和便于学生学习，教学中力求突出主干知识，精选内容。以“思考”、“探究”等形式创设问题情境，为学生提供探索、发现的机会。

第五节从抛物线的定义出发，创设问题情境，提出类比、猜想，得到圆锥曲线的统一定义，从更高的形式上揭示圆锥曲线间的内在关系，使学生充分感受数学的内在的、和谐的美，并且通过对研究过程的反思，培养欣赏美、发现美的能力和意识，提高数学审美能力。

第六节通过对已经学过的几种曲线研究过程的反思，揭示了解析几何的主要研究方法：建立曲线方程，用方程研究曲线的性质。由此提出一般的曲线方程的概念，再由圆的方程与图形之间关系的讨论建立曲线方程的概念。

课时二 椭圆的标准方程

一、教学内容分析

本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。

二、教学目标

（一）知识与技能

1、掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念

2、掌握椭圆标准方程的推导过程；

3、能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系数法求随圆的标准方程。

（二）过程与方法

通过数形结合，让学生观察猜想归纳，培养学生自主地获取知识的能力，开拓学生探究发现能力．

（三）情感态度、价值观 1、通过探究性学习，获得成功的喜悦、培养学好数学的信心；

2、帮助学生树立运动、变化观点，培养学生勇于进取精神和良好心理素质；

3、经历观察、探究等学习活动，培养尊重事实、实事求是的科学态度．

三、学习者特征分析

（一）能力分析

1、学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程; 2、对含有两个根式方程的化简能力薄弱。

（二）认知分析

1、学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤; 2、学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解; 3、学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。

（三）情感分析

学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。

四、教学策略选择与设计

1、教法设计：

引导发现法、探索讨论法

（1）、引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义. （2）、探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性. 2、学法指导

：仔细观察——分析讨论——抽象出概念——推出方程.这样有利于学生发挥学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.

五、教学重点及难点

重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导．

难点：椭圆标准方程的推导．

六、教学过程

教师活动

预设学生活动

设计意图

先从实际生活中有关椭圆例子出发，通过实1、观察计算机演示生活中常见的椭圆，提出问题：这些轨迹是什么图形？这些曲线你还在什么地方见过？

根据自己的观察，回答出运动的轨迹是椭圆，并举出常见的一些椭圆如立体几何中圆的直观图，一些物体的横截面的轮廓线．

际例子创设情景，可使引入自然，易于接受，又使教学内容亲切，激发学生的学习热情，促使学生萌发解决问题和学习新知识的欲望．

学生讨论、交流后师生共同完成下面结论：

当绳长（定值）大于两图钉（定点）间距离时得到的是椭圆；当绳长（定值）等于两图钉（定点）的距离时，得到的是线段；不能使绳长小于两图钉（定点）的距离，因为图形不存在．

由此得出椭圆、椭圆的焦点、焦距的概念．

讨论、交流、归纳（大体有如下方案）：

3、由于椭圆形的例子在实际生活中随方案一．以F1F2所在直线为x轴，处可见，因此对椭圆的研究十分重要，线段F1F2中点为坐标原点；

观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标方案二．以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2中点为坐标原点．

系才能使椭圆方程简单？

教师启发学生由椭圆的定义，4、选择方案一，椭圆上的点满足什么条件？能否用集合表示出来？

得出表示椭圆的集合：用数学表达式表示椭圆．

建立直角坐标系一般要符合简洁对称的原则，正确处理关键点的坐标可使关键的几何量的表达式简单化．

通过实际操作，探究椭圆形成过程满足的几何条件，使学生对椭圆的概念有一个粗略的认识，然后通过演示、观察、猜想、归纳得到椭圆的定义．

2、我们知道，动点保持某种规律运动形成的轨迹叫曲线，那么椭圆是什么条件的点的轨迹呢？如何对椭圆下定义？

PM||MF1||MF2|2a．

教师指导学生设点、列式，化简，并引导学生回顾化简的方法（移项，两边平方，再移项两边平方），5、如何推导出椭圆的方程？

x2y2从而得到：2221

aac并思考：

此方程仍然不够简洁，还有变形的必要，你认为应如何变形，使之更为简洁．

引导学生观察课本图2.2-3，从中找出a，c,a2c2，并把椭圆方引导学生分析，鼓励学生自行推导、概括，从而提高学生分析、思考、归纳、整理的能力．

x2y2程整理成：221

ab并指出上式就是椭圆的标准方程．理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点的椭圆。

不必运算，让学生合理猜想，注意引导学生两个方程形式相同，仅仅是x、y的位置互换了，进一步让学生利用对称性进行猜想，培养学生类比、归纳的能力

6、若选定方案二，方程的形式又怎样？

y2x2得出：221．

ab

师生归纳得出：

7、两个椭圆方程中，a、b、c三者的大小关系怎样？关系如何？

强调椭圆方程的ab,ac且a、b、c0且a2b2c,限制条件．

一般写成ab0

22xy方程1的焦点坐标为a2b2

F（1c,0),F2(c,0)在x轴上，8、两个方程中，焦点位置与方程形式有何关系？

22方程y2x21的焦点坐标为ab注意椭圆的焦点位置和方程形式的关系，切忌混淆．

F（10,c),F2(0,c)在y轴上.

由学生独立思考，教师适时引导，强调要注意的问题：

（1）确定要设的椭圆标准方程

（2）恰当列出含a，b，c的方程

222 （3）相等关系a-b=c归纳求椭圆方程的方法、步骤（①确定焦点位置；②求a、b）．即先定位，后定量。

9、课件展示例题及变式题，总结求简单椭圆标准方程的方法、步骤．

巩固所学知识，培养学生自学能力和归纳总结能力．

七、教学评价设计

1. 测试形式与工具：课堂提问，合作完成练习，课堂达标练习 2. 测试内容： (1)课堂练习题 (2)对知识要点进行归纳小结

八、PPT及板书设计

椭圆的标准方程

一、椭圆的定义

三、例题

四、小结

二、椭圆的标准方程

五、作业

九、新课标的具体体现

以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，研究曲线性质”

为主线，并在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念，这种从特殊到一般，从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律。